Здравствуйте. Я столкнулся с такой задачей: допустим, что во Вселенной имеется

планет и вероятность зарождения жизни на каждой из них равна

. Какова вероятность того, что хотя бы на

планет есть жизнь? Ответ хотелось бы получить как можно точнее.
Первое, что можно сделать, это применить интегральную теорему Муавра-Лапласа, так как

велико и

также велико. Однако здесь мешает то, что

близко к 0, а

близко к 1 (отношение

велико), так как интегральная теорема Муавра-Лапласа выводилась из локальной теоремы Муавра-Лапласа, а там было принципиально разложение логарифма в ряд Тейлора
http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%E2%80%93Laplace_theorem. С другой стороны, в разложении ведь было скорее важно, чтобы слагаемые

и

были малы (

).
Допустим, если решать так: найдем вероятность появления жизни на не более, чем

планет и вычтем из 1 получившийся результат. По интегральной формуле Муавра-Лапласа

, где

и

. Для

нужные нам слагаемые очень малы и здесь все в порядке. Но, пробегая отрезок
![$[k_1,k_2]$ $[k_1,k_2]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/1/f91f705dfeec15d069e3520327228a7682.png)
, модуль числа

увеличивается, уже для

это число равно примерно

и применять теорему, насколько я понял, нельзя, иначе получим большую погрешность. Если положить

, то

,

и вроде как теорема здесь применима. Интеграл получается равным примерно

. А что делать с оставшимся "хвостом"

? Его можно попробовать оценить, но это тоже может огрубить результат.
Какие здесь есть варианты? Может задачу нужно решать совсем другим способом? Спасибо.