Можно ли здесь применить теорему Муавра-Лапласа?

[Antropos]

Здравствуйте. Я столкнулся с такой задачей: допустим, что во Вселенной имеется $n=10^{18}$ планет и вероятность зарождения жизни на каждой из них равна $p=10^{-9}$. Какова вероятность того, что хотя бы на $k=10^9$ планет есть жизнь? Ответ хотелось бы получить как можно точнее.

Первое, что можно сделать, это применить интегральную теорему Муавра-Лапласа, так как $n$ велико и $npq=10^9-1$ также велико. Однако здесь мешает то, что $p$ близко к 0, а $q=1-p$ близко к 1 (отношение $\frac{q}{p}$ велико), так как интегральная теорема Муавра-Лапласа выводилась из локальной теоремы Муавра-Лапласа, а там было принципиально разложение логарифма в ряд Тейлора http://en.wikipedia.org/wiki/De_Moivre%E2%80%93Laplace_theorem. С другой стороны, в разложении ведь было скорее важно, чтобы слагаемые $x\sqrt{\frac{q}{np}}$ и $x\sqrt{\frac{p}{nq}}$ были малы ($x=\frac{k-np}{\sqrt{npq}}$).

Допустим, если решать так: найдем вероятность появления жизни на не более, чем $10^9-1$ планет и вычтем из 1 получившийся результат. По интегральной формуле Муавра-Лапласа $P(k_1,k_2)=\Phi(\frac{k_2-np}{\sqrt{npq}})-\Phi(\frac{k_1-np}{\sqrt{npq}})$, где $k_1=0$ и $k_2=10^9-1$. Для $k_2=10^9-1$ нужные нам слагаемые очень малы и здесь все в порядке. Но, пробегая отрезок $[k_1,k_2]$, модуль числа $x\sqrt{\frac{q}{np}}$ увеличивается, уже для $k_1=10^8$ это число равно примерно $-0,9$ и применять теорему, насколько я понял, нельзя, иначе получим большую погрешность. Если положить $k_1=9\cdot 10^8$, то $x\sqrt{\frac{q}{np}}=-0,1$, $x\sqrt{\frac{p}{nq}}\approx 0$ и вроде как теорема здесь применима. Интеграл получается равным примерно $0,5$. А что делать с оставшимся "хвостом" $\sum_{i=0}^{9\cdot 10^8-1}C_n^ip^iq^i$ ? Его можно попробовать оценить, но это тоже может огрубить результат.

Какие здесь есть варианты? Может задачу нужно решать совсем другим способом? Спасибо.

[--mS--]

Погрешность в теореме Муавра - Лапласа (как и вообще в ЦПТ), оценивается неравенством Берри - Эссеена

$$ \sup_x \left|\mathsf P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}<x\right)-\Phi_{0,1}(x)\right| \leqslant C \dfrac{\,p^2+q^2}{\sqrt{npq\,}}, $$

где $C$ уже менее $0{,}5$ (не слежу), и при значениях $npq$ порядка $10^9$ точность вполне приличная.

[Antropos]

--mS-- в сообщении #864177 писал(а):

Погрешность в теореме Муавра - Лапласа (как и вообще в ЦПТ), оценивается неравенством Берри - Эссеена

$$ \sup_x \left|\mathsf P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}<x}\right)-\Phi_{0,1}(x)\right| \leqslant C \dfrac{\,p^2+q^2}{\sqrt{npq\,}}, $$

где $C$ уже менее $0{,}5$ (не слежу), и при значениях $npq$ порядка $10^9$ точность вполне приличная.

Спасибо за разъяснение. То есть имеем

$$ |\mathsf P(S_n<k)-\Phi_{0,1}\left(\frac{k-np}{\sqrt{npq}}\right)| \leqslant C \dfrac{\,p^2+q^2}{\sqrt{npq\,}}, $$

и, т.к. $k=np$, в результате

$$ |\mathsf P(S_n<k)-\Phi_{0,1}(0)| \leqslant C \dfrac{\,p^2+q^2}{\sqrt{npq\,}}, $$

и получаем оценку

$$ |\mathsf P(S_n<k)-\frac{1}{2}| \leqslant 10^{-4}. $$

И вероятность того, что на миллиарде планет есть жизнь очень близка к $\frac{1}{2}$ ?

[--mS--]

Естественно, если исходные данные имеют смысл.

[Antropos]

--mS-- в сообщении #864444 писал(а):

Естественно, если исходные данные имеют смысл.

Исходные числа автор, разумеется, взял с потолка.