Последовательность в L_1

[MaxWriter]

Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, найти пример последовательности, ограниченной в $L_1$, такой, что из нее нельзя выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся в $L_1$. Заранее благодарен.

Попытка решения:Рассмотрим $L_1[0;1]$ Функция $u_{n}(t)=n,$ если $t \in [0;\frac{1}{n}]$ и $u_{n}(t)=0,$ если $t \in [\frac{1}{n};1]$ подходит?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения задачи и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[Dan B-Yallay]

MaxWriter в сообщении #864099 писал(а):

Попытка решения:Рассмотрим $L_1[0;1]$ Функция $u_{n}(t)=n,$ если $t \in [0;\frac{1}{n}]$ и $u_{n}(t)=0,$ если $t \in [\frac{1}{n};1]$ подходит?

Эта последовательность слабо сходится к нулю.

[g______d]

Dan B-Yallay в сообщении #864148 писал(а):

Эта последовательность слабо сходится к нулю.

Функционал $\int\limits_0^1 f(t)\,dt$ так не считает.

[MaxWriter]

g______d в сообщении #864186 писал(а):

Dan B-Yallay в сообщении #864148 писал(а):

Эта последовательность слабо сходится к нулю.

Функционал $\int\limits_0^1 f(t)\,dt$ так не считает.

Правильно ли я понимаю, что $\int\limits_0^1 |u_n(t)|\,dt = 1,$ но любая подпоследовательность $u_{n_{k}}$ не сходится слабо к нулю?

[g______d]

MaxWriter в сообщении #864205 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что $\int\limits_0^1 |u_n(t)|\,dt = 1,$ но любая подпоследовательность $u_{n_{k}}$ не сходится слабо к нулю?

Да. Если бы $u_{n_k}$ сходились к нулю, то их интегралы бы тоже сходились к нулю, а они не.

В качестве упражнения проверьте, что в $L_p$ при $1<p<+\infty$ подобная конструкция не прокатывает.

[MaxWriter]

В $L_p, 1<p<\infty$ последовательность $u_n(t)$ не будет ограниченной, так как
$\int\limits_0^1 |u_n(t)|^{p}\,dt = n^{p-1} \rightarrow \infty,$ если $n \rightarrow \infty$

[Oleg Zubelevich]

1) всетаки надо формально доказывать, что последовательность $\{u_n\}$ не содержит слабо сходящейся подпоследовательности
2) пространства $L^p[0,1],\quad 1<p<\infty$ рефлексивны: всякая ограниченная последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность

[g______d]

Меня опередили, но стирать не буду.

Да. А если мы нормируем по-другому, чтобы была ограничена, интегралы сойдутся к нулю. В рефлексивном пространстве такого не может быть в принципе, т. к. замкнутый шар всегда $\star$-слабо предкомпактен, а в рефлексивном пространстве $\star$-слабая топология совпадает со слабой.

[Oleg Zubelevich]

всетаки *-слабая компактность в терминах сходимости последовательностей не выражается. Теорема Эберлейна -Шмульяна это штука более сильная.

[MaxWriter]

Oleg Zubelevich в сообщении #864222 писал(а):

1) всетаки надо формально доказывать, что последовательность $\{u_n\}$ не содержит слабо сходящейся подпоследовательности
2) пространства $L^p[0,1],\quad 1<p<\infty$ рефлексивны: всякая ограниченная последовательность содержит слабо сходящуюся подпоследовательность

g______d

Oleg Zubelevich
Спасибо за коментарии.
1) Подскажите, как это формально доказать.

2) Да, это мне известно.

[Oleg Zubelevich]

Предположим, что есть подпоследовательность, которая сходится слабо. Значит есть попоследовательность, у которой средние сходятся сильно. Поскольку эти средние сходятся к нулю почти всюду то они сильно сходятся к нулю. Значит подпоследовательность из которой составлены эти средние слабо сходится к нулю. Но мы знаем, что слабой сходимости к нулю нет.
Как-то так. Мои рассуждения надо проверять.

[Dan B-Yallay]

g______d в сообщении #864186 писал(а):

Функционал $\int\limits_0^1 f(t)\,dt$ так не считает.

Упс Мне пора заново учиться.

[sup]

Можно предложить еще один способ доказательства. Прям-таки по определению. А именно, для любого элемента $v \in L_1(0,1)$ можно указать такой функционал $\varphi$, что $\varphi (v) \neq 0$, а $\varphi (u_n) \to 0$.
Уточнение. $v\neq 0$.