Векторное поле

[Limit79]

Здравствуйте!

Столкнулся с такой задачкой: Вычислить работу векторного поля силы $\vec{F}(M) = 2\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k}$ при движении материальной точки по заданному пути $L$: $x^2+y^2=1$, $z=1$ (обход по часовой стрелке).

Искомая работа есть криволинейный интеграл

$$A = \oint\limits_{L} P dx + Q dy + R dz = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz$$

Зададим линию $L$ параметрически:

$$\left\{\begin{matrix} x = \cos(t)\\ y = \sin(t)\\ z=1 \end{matrix}\right.$$

Так как контур обходится по часовой стрелке, то для данной параметризации параметр $t$ будет изменятся от $2 \pi$ до $0$ Вот тут большой вопрос, верно ли это?

Имеем

$$dx = -\sin(t) dt$$

$$dy = \cos(t) dt$$

$$dz=0$$

Тогда

$$A = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz = \int\limits_{2 \pi}^{0} ( -2 \sin(t) -1 \cdot \cos(t) + \sin(t) \cdot 0 ) dt = \int\limits_{2 \pi}^{0} ( -2 \sin(t) - \cos(t)) dt = ... = 0$$

Подскажите, пожалуйста, верна ли логика решения? (особенно интересует параметризация и изменение параметра).

Спасибо!

[Legioner93]

Очень похоже на правду. А что работа 0, можно было понять и вовсе безо всяких интегралов: первые две компоненты силы постоянны на контуре, третья же ему перпендикулярна.

-- Пт май 16, 2014 05:09:55 --

Limit79 в сообщении #863808 писал(а):

Так как контур обходится по часовой стрелке, то для данной параметризации параметр $t$ будет изменятся от $2 \pi$ до $0$ Вот тут большой вопрос, верно ли это?

Если вас пугает, что нижний предел больше верхнего, то поменяйте их местами, а в самой параметризации $t \to -t$

[Limit79]

Legioner93
Спасибо за ответ!

Legioner93 в сообщении #863811 писал(а):

Если вас пугает, что нижний предел больше верхнего, то поменяйте их местами, а в самое параметризации $t \to -t$

Нет, меня это не пугает, вопрос в том, верно ли данное изменение параметра при данной параметризации и данном обходе (по часовой стрелке) контура.

[Lia]

Limit79 в сообщении #863813 писал(а):

верно ли данное изменение параметра при данной параметризации и данном обходе (по часовой стрелке) контура.

Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху.
Какая разница, когда циркуляция нулевая.

[Limit79]

Lia в сообщении #863815 писал(а):

Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху.

А кстати

Но ведь циркуляция могла быть и не ноль.

Я еще по формуле Стокса проверил: нормаль будет $(-1;0;0)$ или $(1;0;0)$ (на результат не повлияет).

Разность частных производных при $\cos ( \alpha)$ будет ноль, соответственно подынтегральная функция обнуляется, и интеграл равен нулю.

Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

[Lia]

Limit79 в сообщении #863816 писал(а):

А кстати

Обычно в задачах указывают.

Limit79 в сообщении #863816 писал(а):

Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

Мог.

[Munin]

Limit79 в сообщении #863816 писал(а):

Lia в сообщении #863815 писал(а):

Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху.

А кстати :|

Но ведь циркуляция могла быть и не ноль.

А тогда авторы задачи уточнили бы, сверху или снизу :-) Действительно, в 3-мерном пространстве "по часовой стрелке" к плоскому вращению ничего не сообщает.

Limit79 в сообщении #863816 писал(а):

Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

А ещё могли от $0$ до $-2\pi,$ что было бы более естественно :-)

Ну и ещё, можно заметить, что начальную и конечную точку обхода вам не указали, так что можно взять и, например, от $\pi$ до $-\pi,$ и вообще, от $\varphi$ до $\varphi-2\pi.$

[ewert]

Legioner93 в сообщении #863811 писал(а):

что работа 0, можно было понять и вовсе безо всяких интегралов

Нет-нет, без интегралов -- это неспортивно. Другое дело, что их вовсе не нужно было считать, достаточно было всего лишь не спешить раскрывать дифференциалы:

$A = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz = \int\limits_{t=2 \pi}^{0} \big( 2\,d(\cos t) -1\,d(\sin t)+\sin t\,d(1)\big)=0$

Limit79 в сообщении #863808 писал(а):

при движении материальной точки по заданному пути $L$: $x^2+y^2=1$, $z=1$ (обход по часовой стрелке).

Формулировка действительно бессмысленна; обычно говорят примерно так: "обход в отрицательном направлении относительно оси $z$.

[svv]

$2\;dx-z\;dy+y\;dz=2\;dx-(z\;dy+y\;dz)+2y\;dz=2\;dx-d(yz)+2y\;dz$
Первое слагаемое — полный дифференциал.
Второе слагаемое — полный дифференциал.
Третье слагаемое на контуре равно нулю, потому что $dz=0$.

[Munin]

По-ewert-овски веселее.

[Limit79]

Всем спасибо за помощь!