2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 03:34 
Здравствуйте!

Столкнулся с такой задачкой: Вычислить работу векторного поля силы $\vec{F}(M) = 2\vec{i}-z\vec{j}+y\vec{k}$ при движении материальной точки по заданному пути $L$: $x^2+y^2=1$, $z=1$ (обход по часовой стрелке).

Искомая работа есть криволинейный интеграл $$A = \oint\limits_{L} P dx + Q dy + R dz = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz$$

Зададим линию $L$ параметрически: $$\left\{\begin{matrix}
x = \cos(t)\\ 
y = \sin(t)\\ 
z=1
\end{matrix}\right.$$

Так как контур обходится по часовой стрелке, то для данной параметризации параметр $t$ будет изменятся от $2 \pi$ до $0$ :?: Вот тут большой вопрос, верно ли это?

Имеем $$dx = -\sin(t) dt$$ $$dy = \cos(t) dt$$ $$dz=0$$

Тогда $$A = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz = \int\limits_{2 \pi}^{0} ( -2 \sin(t) -1 \cdot \cos(t) + \sin(t) \cdot 0 ) dt = \int\limits_{2 \pi}^{0} ( -2 \sin(t) - \cos(t)) dt = ... = 0$$

Подскажите, пожалуйста, верна ли логика решения? (особенно интересует параметризация и изменение параметра).

Спасибо!

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 04:07 
Аватара пользователя
Очень похоже на правду. А что работа 0, можно было понять и вовсе безо всяких интегралов: первые две компоненты силы постоянны на контуре, третья же ему перпендикулярна.

-- Пт май 16, 2014 05:09:55 --

Limit79 в сообщении #863808 писал(а):
Так как контур обходится по часовой стрелке, то для данной параметризации параметр $t$ будет изменятся от $2 \pi$ до $0$ :?: Вот тут большой вопрос, верно ли это?
Если вас пугает, что нижний предел больше верхнего, то поменяйте их местами, а в самой параметризации $t \to -t$

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 04:17 
Legioner93
Спасибо за ответ!

Legioner93 в сообщении #863811 писал(а):
Если вас пугает, что нижний предел больше верхнего, то поменяйте их местами, а в самое параметризации $t \to -t$

Нет, меня это не пугает, вопрос в том, верно ли данное изменение параметра при данной параметризации и данном обходе (по часовой стрелке) контура.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 04:25 
Limit79 в сообщении #863813 писал(а):
верно ли данное изменение параметра при данной параметризации и данном обходе (по часовой стрелке) контура.

Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху. :mrgreen:
Какая разница, когда циркуляция нулевая.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 04:33 
Lia в сообщении #863815 писал(а):
Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху.

А кстати :|

Но ведь циркуляция могла быть и не ноль.

Я еще по формуле Стокса проверил: нормаль будет $(-1;0;0)$ или $(1;0;0)$ (на результат не повлияет).

Разность частных производных при $\cos ( \alpha)$ будет ноль, соответственно подынтегральная функция обнуляется, и интеграл равен нулю.

Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 04:39 
Limit79 в сообщении #863816 писал(а):
А кстати

Обычно в задачах указывают.
Limit79 в сообщении #863816 писал(а):
Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

Мог.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 08:13 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #863816 писал(а):
Lia в сообщении #863815 писал(а):
Это смотря с какого конца глядя по часовой стрелке, снизу или сверху.

А кстати :|

Но ведь циркуляция могла быть и не ноль.

А тогда авторы задачи уточнили бы, сверху или снизу :-) Действительно, в 3-мерном пространстве "по часовой стрелке" к плоскому вращению ничего не сообщает.

Limit79 в сообщении #863816 писал(а):
Но тут меня больше интересует не сам результат, а это изменение параметра... мог ли я выбрать его, например, от $4 \pi$ до $2 \pi$ ?

А ещё могли от $0$ до $-2\pi,$ что было бы более естественно :-)

Ну и ещё, можно заметить, что начальную и конечную точку обхода вам не указали, так что можно взять и, например, от $\pi$ до $-\pi,$ и вообще, от $\varphi$ до $\varphi-2\pi.$

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 10:43 
Legioner93 в сообщении #863811 писал(а):
что работа 0, можно было понять и вовсе безо всяких интегралов

Нет-нет, без интегралов -- это неспортивно. Другое дело, что их вовсе не нужно было считать, достаточно было всего лишь не спешить раскрывать дифференциалы:

$A = \oint\limits_{L} 2 dx -z dy + y dz = \int\limits_{t=2 \pi}^{0} \big( 2\,d(\cos t) -1\,d(\sin t)+\sin t\,d(1)\big)=0$

Limit79 в сообщении #863808 писал(а):
при движении материальной точки по заданному пути $L$: $x^2+y^2=1$, $z=1$ (обход по часовой стрелке).

Формулировка действительно бессмысленна; обычно говорят примерно так: "обход в отрицательном направлении относительно оси $z$.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 15:41 
Аватара пользователя
$2\;dx-z\;dy+y\;dz=2\;dx-(z\;dy+y\;dz)+2y\;dz=2\;dx-d(yz)+2y\;dz$
Первое слагаемое — полный дифференциал.
Второе слагаемое — полный дифференциал.
Третье слагаемое на контуре равно нулю, потому что $dz=0$.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 16:17 
Аватара пользователя
По-ewert-овски веселее.

 
 
 
 Re: Векторное поле
Сообщение16.05.2014, 16:52 
Всем спасибо за помощь!

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group