Тип бесконечно удаленной точки

[Katmandu]

Имеется функция

$$ e^{-z} \cos(\frac 1 z) $$

и $z = \infty$

нужно определить тип точки $z$.

Если искать предел от этой функции, устремляя $z$ в бесконечность, то получается 0, значит это устранимая особая точка.

Но когда раскладывают в ряд Лорана, для точки 0, то получаю, что это существенная особая точка.

В чем может быть ошибка?

[Otta]

Предел неправильно ищете.

[Katmandu]

Otta в сообщении #863677 писал(а):

Предел неправильно ищете.

Вольфрам тоже неправильно?

[Otta]

Шо ви хотите от бедной машины, если даже голова не справляется?
Значит, тоже неправильно.

[provincialka]

Проверьте хотя бы для вещественного случая, $z=x\to+\infty$ и $z=x\to-\infty$

[Katmandu]

Еще так пробовал:

чтобы исследовать $ f(z) = e^{-z} \cos(\frac 1 z) $ в бесконечно удаленной точке. можно попробовать исследовать $f(\frac 1 x) = e^{-\frac 1 x} \cos x $ в точке $ x = 0 $


$e^{-z}$ разложил в точке $0$
получилось

$$ h(z) = e^{-z} = 1 - z + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^3} {3!} - ... $$

или

$$ h(1/x) = 1 - \frac 1 x + \frac 1 {2 x^2} - ... $$

пусть $ g(z) = \cos \frac 1 z $ , тогда
$g(\frac 1 x) = \cos x $ в точке $x = 0$ имеет вид

$$ 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {x^4} {4!} - ... $$

Далее перемножаем $g(\frac 1 x) h(\frac 1 x) $ и делаем вывод для $x = 0$ - СОТ, следовательно $z = \infty $ - СОТ

-- 16.05.2014, 00:50 --

provincialka в сообщении #863682 писал(а):

Проверьте хотя бы для вещественного случая

Если $z = x \rightarrow \infty $ , то предел равен нулю.
Если $z = x \rightarrow -\infty $, то предел равен $\infty$

Но разве при исследовании бесконечно удаленной точки, стоит рассматривать оба случая?

[Otta]

Katmandu
У Вас задание-то какое? Определить тип точки или сделать это всеми известными способами? Если только первое, то пределов за глаза хватит, Вы их только посчитайте.

[provincialka]

Katmandu в сообщении #863684 писал(а):

Но разве при исследовании бесконечно удаленной точки, стоит рассматривать оба случая?

А почему нет? На комплексной плоскости только одна бесконечно удаленная точка. И ней можно добираться разными способами. Например, по мнимой оси - там что будет?

[Otta]

Katmandu в сообщении #863684 писал(а):

Но разве при исследовании бесконечно удаленной точки, стоит рассматривать оба случая?

Иногда и этого недостаточно.

[Katmandu]

Спасибо, вроде разобрался

[ewert]

Katmandu в сообщении #863684 писал(а):

Если $z = x \rightarrow \infty $ , то предел равен нулю.
Если $z = x \rightarrow -\infty $, то предел равен $\infty$

Но разве при исследовании бесконечно удаленной точки, стоит рассматривать оба случая?

Не обязательно. Но, между прочим, вот хотя бы два этих факта -- определяют тип особой точки уже вполне однозначно. Сугубо согласно теории.

[Otta]

А давайте проверим. $e^{-z^2}$ - бесконечно удаленная точка какого типа?

[ewert]

Otta в сообщении #863700 писал(а):

. $e^{-z^2}$ - бесконечно удаленная точка какого типа?

Это лишний вопрос -- тут-то уж всё совсем тривиально, и безо всяких пределов.

[Otta]

ewert, ну это Вам тривиально. А вопрос не Вам.

[Munin]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #863700 писал(а):

А давайте проверим. $e^{-z^2}$ - бесконечно удаленная точка какого типа?

А мне понравилось. Я целых два раза думал. Ударим гауссианой по беспределу и как там дальше?..