Тип бесконечно удаленной точки

[Katmandu]

Otta в сообщении #863735 писал(а):

Для какой функции?

для функции

$$ e^{-\frac 1 z} \cos z $$

рассматриваем тип точки $z = 0$

Сомнения есть в том как $ e^{-\frac 1 z} $ в ряд разложить в данной точке, честно говоря

[Otta]

Katmandu в сообщении #863759 писал(а):

Сомнения есть в том как $ e^{-\frac 1 z} $ в ряд разложить в данной точке, честно говоря

Вот давайте, чтоб понятно было, с этого и начнем.
Без всяких лишних действий разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечности ту самую $e^{-z^2}$.

[Katmandu]

Otta в сообщении #863763 писал(а):

разложить в ряд Лорана в окрестности бесконечности ту самую $e^{-z^2}$

$$e^{-z^2} = 1 - z^2 + \frac {z^4} {2!} - \frac {z^6} {3!}+ ... $$

[Otta]

Правильно. А какие проблемы вызывает $e^{1/z}$ в окрестности нуля?

[Katmandu]

Otta в сообщении #863780 писал(а):

А какие проблемы вызывает $e^{1/z}$ в окрестности нуля?

Если раскладываю в окрестности нуля , то первый член ряда это эта же функция в точке 0, но ведь она не существует. Это вызывает сомнения.

[Otta]

Вы ряды Лорана, часом, с рядами Тейлора не путаете?

[Katmandu]

ряд Тейлора - частный случай ряда Лорана.
Ясно, что в ряд Лорана можно разложить в точке $z = 0$, так как по нему судят о типе этой точки. Но само разложение, кроме как через Тейлора, мне не понятно.

[Otta]

Katmandu в сообщении #863785 писал(а):

Ясно, что в ряд Лорана можно разложить в точке $z = 0$, так как по нему судят о типе этой точки.

Ясно, что коровы дают молоко, так как оно должно быть в магазинах. ))

В ряд Лорана можно или не можно разложить вне зависимости от наших потребностей судить о типе точки. Бывает, что можно, бывает, что нет. И ряд Тейлора тут только вспомогательный инструмент.

Вот каким будет разложение в ряд Лорана в нуле для функции $\dfrac{z+3z^2}{4z^3}$ ? Оно будет?

[Katmandu]

Будет

$$\dfrac{z+3z^2}{4z^3} = \frac 1 {4z^2} + \frac {3} {4z}$$

[Otta]

Вот. Видите, не понадобился Вам Тейлор.
Кстати, заметьте, что в нуле Ваша функция не определена (кстати, какая там будет точка?). Но это не мешает наличию разложения. И неудивительно. Разложение в ряд Лорана в точке - это разложение в ее проколотой окрестности.

[Katmandu]

Otta в сообщении #863793 писал(а):

кстати, какая там будет точка?

Полюс второго порядка

Otta в сообщении #863788 писал(а):

$\dfrac{z+3z^2}{4z^3}$

Здесь-то видно, как разложить в ряд Лорана, но ведь с $e^{1/z}$ такое не выйдет
ряд скорее всего будет иметь вид

$$1 + \frac 1 z + \frac 1 {2z^2} + ... $$

, но откуда такое разложение берется

[Otta]

Вы еще недавно умели раскладывать экспоненту. )) Давайте напишем

$$e^z=\ldots$$

и при каких $z$ это равенство верно.

[Katmandu]

$$ e^z = 1 + z + \frac {z^2} {2!} + \frac {z^3} {3!} + ... $$

где $z$ - любое комплексное число.

[Otta]

Ну правильно. А теперь Вас интересует $e^{1/u}$. Разложение по степеням $u$. Но разве $1/u$ нельзя подставить в это равенство, раз уж оно всегда верно?

[Katmandu]

Пару часов назад, зная что $ u = 0 $, сомнения все равно бы терзали, если бы я так просто подставил $ \frac 1 u $ в разложение экспоненты. Сейчас чуть яснее, но есть одно "но"

Otta в сообщении #863799 писал(а):

Но разве $1/u$ нельзя подставить в это равенство

Можно, если $ \frac 1 u $ комплексное число, а $\frac 1 0 $ - комплексное?