Вычислить интеграл

[kikik]

Помогите надо вычислить приближенно с точностью $0.001$ интеграл $\int\limits_{0}^{1}\cos\sqrt{x}$ путем разложение функции в ряд и почленного интегрирования.Как подстуупиться.Если непосредственно применять формулу Тейлора то выходит сложный ряд и тяжело оценить остаточный член я разлагал$\sqrt{x}$ в ряд оценивал остаточный член и считал новый ряд но опять выходит сложно и не могу оценить остаточный член.Помогите

[Sonic86]

Разложите $\cos t$ в ряд Маклорена

[kikik]

а как мы можем разложить в ряд если производная в нуле у функции не существует? И даже если так то как найти оценку остаточного члена?

[Sonic86]

Устранимые точки разрыва 1-го рода никому не интересны. На значение интеграла они формально не вляют. Понятно почему?

[provincialka]

Разложение в ряд Тейлора с помощью производных - занятие малоаристократическое...

[kikik]

Ну а как мы сможем найти оценку остаточного члена.Тут есть еще моя тема помогите понять почему мы можем пользоваться заменой а не находить производные функции непосредственно topic84167.html

[ИСН]

Sonic86 в сообщении #863582 писал(а):

Разложите $\cos t$ в ряд Маклорена

Сделайте это. Да. У функции $\cos t$ производная в нуле существует, и есть оценка остаточного члена.

[kikik]

Но ведь для исходной сложной функции остаточный член имеет совершенно иной вид.То есть надо вычислить остаточный член для $\cos{t}$ и затем заменить $t$ на $\sqrt{x}$.Но мне непонятна правомерность такого действия, во всех подобных примерах, мною рассмотренных где использовалась замена оценивался только показатель аргумента в котором он входит в бесконечно малую величину,но сам вид бесконечно малой нигде не расписывался и мне кажется использовать метод замены для его оценки некорректно

[provincialka]

Вы имеете в виду остаточный член в форме Пеано? Но есть ведь и другие! Например, в форме Лагранжа.

[kikik]

Так в этом и загвоздка я нигде не видел такой оценки .В моей другой теме я и пытаюсь разобраться в вопросе почему корректно использовать способ замены а не формулу Фаа-Ди-Бруно.Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$

[Sonic86]

Какие Вам известны ряды с простой оценкой остаточного члена?

kikik в сообщении #863607 писал(а):

То есть надо вычислить остаточный член для $\cos{t}$ и затем заменить $t$ на $\sqrt{x}$.Но мне непонятна правомерность такого действия, во всех подобных примерах, мною рассмотренных где использовалась замена оценивался только показатель аргумента в котором он входит в бесконечно малую величину,но сам вид бесконечно малой нигде не расписывался и мне кажется использовать метод замены для его оценки некорректно

Вы знакомы с подстановками? Здесь достаточно выполнить оценку, потом сделать подстановку.

Про формулу Фаа-ди-Бруно можете забыть на ближайший год.

[ewert]

kikik в сообщении #863599 писал(а):

Ну а как мы сможем найти оценку остаточного члена.

ИСН в сообщении #863601 писал(а):

и есть оценка остаточного члена.

provincialka в сообщении #863610 писал(а):

Но есть ведь и другие! Например, в форме Лагранжа.

Но грядёт и гораздо круче прохвост -- например, признак Лейбница.

[provincialka]

Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.

kikik в сообщении #863614 писал(а):

Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$

Хм... трудновато, потому что кажется очевидным... Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами. Только лучше взять $\cos\sin x$, потому что в вашем варианте внутренний косинус не является бесконечно малой.
Ну, например, через о-малое.
$t =\sin x = x -\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. Подставляем это выражение в формулу для косинуса. Получаем

$$\cos t = 1 -\frac{t^2}{2}+o(t^3)=1-\frac12 (x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^2+ o((x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^3)$$

$$\cos\sin x=1-\frac12(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5))+o(x^3)=1-\frac12 x^2+o(x^3)$$

Все слагаемые степени больше 3 относим к $o(x^3)$. Окончательно получаем $\cos\sin x=1-\frac12 x^2+o(x^3)$ Формула, конечно, не интересная, но я устала набирать эти громоздкие дроби...

[kikik]

provincialka в сообщении #863641 писал(а):

Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.

kikik в сообщении #863614 писал(а):

Если вам не сложно поясните корректность способа замены на другом примере скажем $\cos\cos x$

Хм... трудновато, потому что кажется очевидным... Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами. Только лучше взять $\cos\sin x$, потому что в вашем варианте внутренний косинус не является бесконечно малой.
Ну, например, через о-малое.
$t =\sin x = x -\frac{x^3}{6}+o(x^4)$. Подставляем это выражение в формулу для косинуса. Получаем

$$\cos t = 1 -\frac{t^2}{2}+o(t^3)=1-\frac12 (x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^2+ o((x -\frac{x^3}{6}+o(x^4))^3)$$

$$\cos\sin x=1-\frac12(x^2-\frac{x^4}{3}+\frac{x^6}{36}+o(x^5))+o(x^3)=1-\frac12 x^2+o(x^3)$$

Все слагаемые степени больше 3 относим к $o(x^3)$. Окончательно получаем $\cos\sin x=1-\frac12 x^2+o(x^3)$ Формула, конечно, не интересная, но я устала набирать эти громоздкие дроби...

Эти приеры я видел в учебниках а как земенить бесконечно малую на остоточный член в другой форме для его оценки,ведь без оценки остаточного члена не посчитаешь интеграл

[ewert]

provincialka в сообщении #863641 писал(а):

Можно и Лейбница. Но ведь человека интересует тема рядов в общем виде.

Его она не должна интересовать. Это -- стандартная задача, и рассчитана она ровно на Лейбница, не более и не менее.

-- Чт май 15, 2014 21:59:57 --

provincialka в сообщении #863641 писал(а):

Думаю, дело в том, чтобы оперировать асимптотическими равенствами.

А вот это можно. Если требуется кровь из носу, но не получить ни малейшего ответа (в данной конкретной задаче).