Найти вектор скорости, по которому два объекта пересекутся

[Mad_Sanek]

Есть два объекта, известны координаты первого (черного), вектор скорости первого, координаты второго (желтого)
Нужно найти вектор скорости второго, чтобы они пересеклись в одной точке.
Причем, вектор скорости второго ограничен $x=y=10$

Пробовал находить так:

1. Откладывать перпендикуляр из точки координат второго на прямую, по которой движется первый
2. Узнавал расстояние, которое пройдет первый объект, когда второй объект будет в проекции точки своей координаты на прямую движения первого объекта
3. Смещал точку, в которую будет двигаться второй объект относительно того, где будет находиться первый объект

Однако, не сработало.

P.S. На самом деле не уверен, что это относится к аналитической геометрии, но пробовал решать именно так. И решение вижу в смысле аналитической геометрии.

Прошу помочь, кто сможет)
Заранее спасибо

[gris]

А если написать уравнения движения каждой точки и решить систему. Движение, надеюсь, равномерное на плоскости без всяких полей.
Тут можно же добиваться пересечения через определённое время, пересечения при заданном направлении и так далее.

[Lia]

Mad_Sanek
Не забывайте оформлять формулы. topic183.html

[Mad_Sanek]

gris в сообщении #863234 писал(а):

А если написать уравнения движения каждой точки и решить систему. Движение, надеюсь, равномерное на плоскости без всяких полей.
Тут можно же добиваться пересечения через определённое время, пересечения при заданном направлении и так далее.

Спасибо!
Благо не забыл школьную физику)
Осталось решить эту систему...

-- 14.05.2014, 20:51 --

Ну, в общем, такие дела

$$\left\{\begin{matrix} $x = $x_{0} + \vartheta^{0}_{x}$t \\ $y = $y_{0} + \vartheta^{0}_{y}$t \\ $x = $x_{1} + \vartheta^{1}_{x}$t \\ $y = $y_{1} + \vartheta^{1}_{y}$t \\ 10 = \sqrt{(\vartheta^{1}_{x})^2+(\vartheta^{1}_{y})^2} \\ \end{matrix}\right.$$

Не знаю, как подступиться(

[ИСН]

Вам не кажется, что 5 уравнений на 4 неизвестных - это немного чересчур?

[Mad_Sanek]

$x,$y,$t,\vartheta^{1}_{y},\vartheta^{1}_{x}$ - неизвестные

[gris]

То есть модуль скорости равен ровно 10? Ну это ещё проще. Нам надо найти компоненты скорости второго тела.
Из первого уравнения вычитаем третье, их второго четвёртое. То есть исключием координаты встречи. Тут надо следить за вырождением. Потом исключаем время. Пятое уравнение возводим в квадрат. И получаем систему линейного и квадратичного уравнения с двумя неизвестными. Она может иметь от нуля до двух решений. Квадратное уравнение, дискриминант, маслице-ху... то да сё. В общем виде надо отслеживать все особые случаи. Ничего такого неберущегося. Попробуйте решить для конкретного частного случая.

[Mad_Sanek]

gris в сообщении #863318 писал(а):

То есть модуль скорости равен ровно 10? Ну это ещё проще. Нам надо найти компоненты скорости второго тела.
Из первого уравнения вычитаем третье, их второго четвёртое. То есть исключием координаты встречи. Тут надо следить за вырождением. Потом исключаем время. Пятое уравнение возводим в квадрат. И получаем систему линейного и квадратичного уравнения с двумя неизвестными. Она может иметь от нуля до двух решений. Квадратное уравнение, дискриминант, маслице-ху... то да сё. В общем виде надо отслеживать все особые случаи. Ничего такого неберущегося. Попробуйте решить для конкретного частного случая.

На самом деле не модуль скорости ограничен 10, а скорости второго тела ($\vartheta^{1}_{x},\vartheta^{1}_{y}$) ограничены каждый до 10.

Это нужный случай, но это я для простоты решения поправил. В конечном итоге придется переправлять.

[gris]

Извините, но если задан не модуль, а вектор скорости, то задача сводится просто к проверке того, столкнутся тела или нет. К чему там пятое уравнение? Уточните условие задачи на словах. Из некоторой заданной точки вылетает с заданным вектором скорости первое тело. Из другой заданной точки вылетает второе тело с заданным вектором скорости. Не в тот же момент, а когда-то? то есть надо найти время старта второго тела? Тогда уравнения будут другими. Добавится переменная времени для второго тела. Четыре линейных уравнения и четыре неизвестных. Ещё лучше. Может быть одно решение, ни одного и бесконечно много.
Или задано время старта второго тела, а компоненты скорости находятся в некотором промежутке? Или что?

[Mad_Sanek]

gris в сообщении #863324 писал(а):

Извините, но если задан не модуль, а вектор скорости, то задача сводится просто к проверке того, столкнутся тела или нет. К чему там пятое уравнение? Уточните условие задачи на словах. Из некоторой заданной точки вылетает с заданным вектором скорости первое тело. Из другой заданной точки вылетает второе тело с заданным вектором скорости. Не в тот же момент, а когда-то? то есть надо найти время старта второго тела? Тогда уравнения будут другими. Добавится переменная времени для второго тела. Четыре линейных уравнения и четыре неизвестных. Ещё лучше. Может быть одно решение, ни одного и бесконечно много.
Или задано время старта второго тела, а компоненты скорости находятся в некотором промежутке? Или что?

Из заданной точки вылетает тело с заданным вектором скорости. Из другой заданной точки нужно отправить тело с таким вектором скорости, чтобы эти тела столкнулись.
$x_{0},y_{0}$ - начальные координаты первого тела (заданы)
$\vartheta^{0}_{x},\vartheta^{0}_{y}$ - вектор скорости первого тела (задан)
$x_{1},y_{1}$ - начальные координаты второго тела (заданы)
$\vartheta^{1}_{x},\vartheta^{1}_{y}$ - вектор скорости второго тела (нужно найти, существует ограничение $\vartheta^{1}_{x},\vartheta^{1}_{y} \leqslant 10$)
Для упрощения задачи, взял условие, что $|\vartheta^{1}| \leqslant 10 $
$x,y$ - точка столкновения

gris, спасибо Вам большое, Вы помогли мне в этом разобраться, осталось только довести до ума на бумаге)

[provincialka]

Здесь вся проблема в неправильной терминологии. ТС называет компоненты вектора скорости "двумя скоростями" и забывает взять их по модулю.
Думаю, можно выбрать за переменную время до столкновения (которое ТС называет пересечением), выразить через него скорость (компоненты скорости) второго тела, а уж потом на них наложить ограничение $|v_x|<10,|v_y|<10$. Из этого найдем ограничения на $t$.

[gris]

Система, которую ТС привёл в самом начале, годится на все случаи. Только вместо пятого уравнения пишем два неравенства. И получаем кучу решений, одно или ни одного.
Чисто алгебраически решение в любом случае несложно: исключаем координаты встречи, время и получаем систему с двумя компонентами скорости.

Если рассуждать голономно, то это примерно то же, что перейти в систему отсчёта, где "мишень" вообще неподвижна. То есть приравниваем к нулю всё, что касается первого тела и получаем задачу: попасть при заданных ограничениях по скорости из некоторой точки в начало координат. Или из начала координат в некоторую точку. А потом относительно сместить всё это дело. Это абсолютно то же самое, хотя, может быть, более наглядно.

Правда, может оказаться, что всё это дело линейно лишь на первом этапе, а потом автор захочет решать задачу перехвата в поле силы тяготения Звезды Смерти