Надо найти общее решение уравнения

,
где

,

- произвольные
действительные числа. Меня интересует решение в классе действительных функции. Без ограничения общности можно считать

,

.
Если числа

целые, то получается обычное разностное уравнение. Этот случай мне понятен. Случай рациональных

сводится к целым. С действительными числами возникает ряд вопросов.
По аналогии с разностным уравнением можно выписать характеристическое уравнение

,
где

. Однако в случае действительных

оно
не является алгебраическим, и в этом проблема.
Получается, у него может быть бесконечное число комплексных корней? В таком случае, общее решение представляется суммой бесконечного ряда? Когда этот ряд сходится? Посоветуйте что-нибудь к прочтению на эту тему. Сам нашел пару работ Леонтьева А.Ф. (
"Дифференциально-разностные уравнения" и
"Ряды полиномов Дирихле и их обобщения"), но там рассматривается более общая задача дифференциально-разностных уравнений вида

,
да и еще на комплексной плоскости. Все очень сложно. Нужна помощь разобраться с конкретным случаем

и действительных чисел

.
С одной стороны литературы по разностным схемам (случай целых чисел) - масса, с другой стороны указанные выше специальные статьи разбирают гораздо более общую задачу и слишком сложны для понимания.