Общее решение одного уравнения очень похожего на разностное

[wormer]

Надо найти общее решение уравнения
$f(x) = c_1 f(x - a_1) + \dots + c_n f(x - a_n)$,
где $c_i, a_i$, $i = 1, ... n$ - произвольные действительные числа. Меня интересует решение в классе действительных функции. Без ограничения общности можно считать $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$, $c_i \neq 0$.

Если числа $a_i$ целые, то получается обычное разностное уравнение. Этот случай мне понятен. Случай рациональных $a_i$ сводится к целым. С действительными числами возникает ряд вопросов.

По аналогии с разностным уравнением можно выписать характеристическое уравнение
$\lambda^{a_n} - c_1 \lambda^{a'_{n-1}} - \dots - c_{n-1} \lambda^{a'_1} - c_n = 0$,
где $a_n > a'_{n-1} > \dots > a'_1$. Однако в случае действительных $a_i$ оно не является алгебраическим, и в этом проблема.

Получается, у него может быть бесконечное число комплексных корней? В таком случае, общее решение представляется суммой бесконечного ряда? Когда этот ряд сходится? Посоветуйте что-нибудь к прочтению на эту тему. Сам нашел пару работ Леонтьева А.Ф. ("Дифференциально-разностные уравнения" и "Ряды полиномов Дирихле и их обобщения"), но там рассматривается более общая задача дифференциально-разностных уравнений вида
$\sum_{j = 0}^{m} \sum_{i = 1}^{n} c_{j i} f^{(j)}(x + a_i) = 0$,
да и еще на комплексной плоскости. Все очень сложно. Нужна помощь разобраться с конкретным случаем $m = 0$ и действительных чисел $a_i$.

С одной стороны литературы по разностным схемам (случай целых чисел) - масса, с другой стороны указанные выше специальные статьи разбирают гораздо более общую задачу и слишком сложны для понимания.

[mishafromusa]

Попробуйте сделать преобразование Фурье или Лапласа и посмотреть что получится.
Полезно также посмотреть как ведёт себя левая часть Вашего характеристического уравнения.
Выход в комплексную область неизбежен, если Вы хотите описать все решения.

[mishafromusa]

Действительно, в общем случае будет счётное количество линейно независимых решений, по одному для каждого простого корня характеристического уравнения, и по нескольку для кратных корней. Общее решение будет их линейной комбинацией.

[Null]

Цитата:

Общее решение будет их линейной комбинацией.

Там еще разрывные решения будут.

[mishafromusa]

Наверно, я не говорил только о конечных линейных комбинациях. Интегралы Фурье могут быть и разрывными.

[mishafromusa]

Вообще на эту задачу полезно посмотреть с точки зрения теории обобщённых функций.

[wormer]

Спасибо большое за советы! Насколько я понимаю, единственной точкой сгущения корней характеристического уравнения будет ноль. Вообще, в моем случае у уравнения имеется действительный корень $\lambda_* \geqslant 1$, превосходящий модули всех остальных его корней. Хочется утверждать по аналогии со случаем алгебраического характеристического уравнения, что $f(x) = (c \pm o(1)) \lambda_*^x$ при $x \to +\infty$, для некоторой константы $c$.

По поводу разрывности. Думаю, тут все зависит от задания "начальных условий", заданных, например, на полуинтервале $[0, a_n)$: если эта функция непрерывна, то и решение должно быть гладким.