Сложности в логических переходах (теоремы, интегралы)

[Philisophe]

При подготовке к экзамену по матану, возникли множественные непонимания в логических переходах в теоремах, пока что только по интегралам, до рядов не дошёл.
(не нашел специального тега, который делает кат, так что все пикчи будут под "оффтопиком")
Итак, вопрос 1:

(Оффтоп)

В теореме 6.8 на пикче пишут: "Аналогично для $B$, ..., что $\sum{|J'_n|}< \frac{\varepsilon}{2}$, но почему мы решили, что здесь можно взять тоже $\frac{\varepsilon}{2}$? Ведь $A$ и $B$ - хотя оба множества меры нуль, но разные множества? Почему мы для них имеем право взять один и тот же $\frac{\varepsilon}{2}$?


Вопрос 2:

(Оффтоп)

Почему гарантируется интегрируемость для $g(x)$? Ок, для $f(x)$ в условии сказано, что она интегрируема, но $g(x)$-то только определена и отлична от $f(x)$ в конечном числе точек. Из этого как-то не следует интегрируемость (я не вижу как).


Вопрос 3

(Оффтоп)

:
На картинке - необходимый признак интегрируемости (формулировка в конце предыдущей пикчи).
В 4ом сверху абзаце есть фраза: "Поскольку величину $f(\xi'_k)$ за счёт выбора $\xi'_k$ можно сделать сколь угодно большой по модулю..." - это с какого перепуга? Максимально возможное $f(\xi'_k)$ определяется вовсе не выбором $\xi'_k$, а устройством функции. У нас не получится взять $f(\xi'_k)$ большее, чем максимум функции на $[a,b]$. Ведь так?


Вопрос 4

(Оффтоп)

В самом начале док-ва - почему все подынтегральные функции непрерывны? Ок, для $f(u)$ и $\varphi'(x)$ это показано в условиях, а что насчёт $f(\varphi(x))$?

Вопрос 5

(Оффтоп)

1 2, 3

Собственно вопрос на последней картинке сверху - из каких теорем конкретно следует этот факт? Переход какой-то совсем не очевидный. В том месте, на которое указывает учебник сказано, что функция, лежащая между $a$ и $b$ - на самом дел лежит между своей верхней и нижней точной гранью на этом отрезке. Но из этого всего лишь следует замена $m$ и $M$ на $a$ и $b$.

Теоретический вопрос: следует ли из непрерывности производной на $[a,b]$ непрерывность самой функции на том же промежутке? Или в более общем виде - следует ли из непрерывности производной $n$-го порядка, непрерывность производной $(n-1)$-го порядка той же функции на том же промежутке?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1) Запишите свои формулы в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

2) Крайне желательно выделить каким-либо образом те места в тексте, относительно которых возникает вопрос, прямо на изображении.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[arseniiv]

(Очень важный комментарий.)

А почему у последних фотографий не проведена цветокоррекция и у всех фотографий — устранение перспективных искажений? И ещё эти, как их… уровни.

[Otta]

3)

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

"Поскольку величину $f(\xi'_k)$ за счёт выбора $\xi'_k$ можно сделать сколь угодно большой по модулю..." - это с какого перепуга?
Максимально возможное $f(\xi'_k)$ определяется вовсе не выбором $\xi'_k$, а устройством функции. У нас не получится взять $f(\xi'_k)$ большее, чем максимум функции на $[a,b]$.

Так доказательство от противного.
4)

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

В самом начале док-ва - почему все подынтегральные функции непрерывны? Ок, для $f(u)$ и $\varphi'(x)$ это показано в условиях, а что насчёт $f(\varphi(x))$?

А что насчет непрерывности функции $\varphi$?
5)

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

В том месте, на которое указывает учебник сказано, что функция, лежащая между $a$ и $b$ - на самом дел лежит между своей верхней и нижней точной гранью на этом отрезке. Но из этого всего лишь следует замена $m$ и $M$ на $a$ и $b$.

Все смешалось в доме Облонских. Где аргумент функции. Где значения функции. Теорему о промежуточном значении выпишите себе на бумажку.

Там нечего добавить, все сказано. А у себя порядок наведите.

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

Теоретический вопрос: следует ли из непрерывности производной на $[a,b]$ непрерывность самой функции на том же промежутке? Или в более общем виде - следует ли из непрерывности производной $n$-го порядка, непрерывность производной $(n-1)$-го порядка той же функции на том же промежутке?

Необходимое условие дифференцируемости Вам знакомо?

Остальное потом.

-- 14.05.2014, 21:30 --

1)

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

В теореме 6.8 на пикче пишут: "Аналогично для $B$, ..., что $\sum{|J'_n|}< \frac{\varepsilon}{2}$, но почему мы решили, что здесь можно взять тоже $\frac{\varepsilon}{2}$? Ведь $A$ и $B$ - хотя оба множества меры нуль, но разные множества? Почему мы для них имеем право взять один и тот же $\frac{\varepsilon}{2}$?

Тут надо отдавать себе отчет, что мы не "для них" берем этот самый $\frac{\varepsilon}{2}$. Мы его просто берем. По определению множества меры ноль, какое бы положительное число мы ни брали, найдется....(читаем, что найдется), такое, что сумма длин меньше этого числа. Вот в качестве положительного числа можно взять 2, - для него своя система с суммой длин меньше 2, 0.1 - для него найдется своя система с суммой длин меньше 0.1. То же касается и $\frac{\varepsilon}{2}$.

Для второго множества повторяем процедуру, - но понятно, там уже интервалы будут другими, скорее всего, поэтому и обозначили их по-другому.

-- 14.05.2014, 21:34 --

2)

Philisophe в сообщении #863146 писал(а):

Почему гарантируется интегрируемость для $g(x)$? Ок, для $f(x)$ в условии сказано, что она интегрируема, но $g(x)$-то только определена и отлична от $f(x)$ в конечном числе точек. Из этого как-то не следует интегрируемость (я не вижу как).

Функция $g(x)=f(x)+(g(x)-f(x))$. Первое слагаемое ($f$) интегрируемо по условию, второе (в скобках) - в силу теоремы 6.4. Там это дословно и написано.

[Philisophe]

Otta
По 3му - всё ясно, забыл, что там от противного, а значит в точках, где функция неограничена - можем за счёт сдвигов по $\xi_i$ делать сколь угодно большой функцию.

По теоретическому вопросу и 4ому - да, спасибо, я вспомнил, что из дифференцируемости следует интегрируемость.

В 5ом вопросе я действительно перепутал, и $[a,b]$ относится к аргументу, а $m$ и $M$ к функции, но это не даёт понимания. Выписал теорему о промежуточном значении - не решило проблемы, ибо там сказано о функции, а здесь - частное интегралов. Да и разве сказано где-то, что это частное - непрерывно? Мы получили только, что оно находится между $m$ и $M$.

По 1му - ясно, просто не понял определение множества меры нуль.

По 2ому - видимо, проблема была в том, что правой части равенства была показана интегрируемость, а для левой она следовала из того, что это равенство. Ок, затупил.

[Otta]

Philisophe в сообщении #863281 писал(а):

что из дифференцируемости следует интегрируемость.

И только? а Вам что нужно?

Philisophe в сообщении #863281 писал(а):

Выписал теорему о промежуточном значении - не решило проблемы, ибо там сказано о функции, а здесь - частное интегралов. Да и разве сказано где-то, что это частное - непрерывно? Мы получили только, что оно находится между $m$ и $M$.

Частное $\dfrac{\int_0^1 x^2 dx}{\int_0^1 x^3 dx}$ - это функция какой переменной?

[mihailm]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #863287 писал(а):

...это функция какой переменной?

Да какой угодно! Например от $\varphi$)))

[Philisophe]

Otta в сообщении #863287 писал(а):

Philisophe в сообщении #863281 писал(а):

что из дифференцируемости следует интегрируемость.

И только? а Вам что нужно?

Я описался - имел в виду, что из дифференцируемости следует непрерывность, а если дифф-ма в каждой точке, то и непрерывна в каждой точке. Так что если есть производная в каждой точке, то, следовательно, функция непрерывна в каждой точке.
Короче мой теор.вопрос разрешён.

Цитата:

Philisophe в сообщении #863281 писал(а):

Выписал теорему о промежуточном значении - не решило проблемы, ибо там сказано о функции, а здесь - частное интегралов. Да и разве сказано где-то, что это частное - непрерывно? Мы получили только, что оно находится между $m$ и $M$.

Частное $\dfrac{\int_0^1 x^2 dx}{\int_0^1 x^3 dx}$ - это функция какой переменной?

Эээ... Сложный вопрос. Наверное $x$.
Хотя возможно предыдущий оратор прав - любой переменной, ибо определённый интеграл - число. Не знаю, не уверен.

[Otta]

Philisophe в сообщении #863293 писал(а):

Эээ... Сложный вопрос. Наверное $x$.

А посчитать никак?

-- 14.05.2014, 21:57 --

Philisophe в сообщении #863293 писал(а):

ибо определённый интеграл - число.

Во!

И там только написано, что это число - да, вид у него страшный, сразу не признаешь, находится на отрезке... ну поди, дальше сами прочитаете, на каком. И сверитесь, при чем тут теорема о промежуточном значении.

[Philisophe]

Otta
Спасибо, я всё понял. Непросто было. Вы крутой. Тема закрыта. Может вернусь на рядах, если сам не разберусь.

[Otta]

И Вам спасибо.