Найти спектральную функцию сигнала

[Derik117]

(Оффтоп)

Т.е. если есть, допустим, такой сигнал, но смещенный на $0.5$ по оси $x$ вправо, и мы продифференцируем его, то первый дельта-импульс будет без запоздания, потом прямоугольный импульс с запозданием и последний дельта-импульс также будет с запазданием, правильно понял?

[profrotter]

Derik117 в сообщении #862820 писал(а):

то первый дельта-импульс будет без запоздания, потом прямоугольный импульс с запозданием и последний дельта-импульс также будет с запазданием

То первый дельта-импульс будет соответствовать моменту времени $t=0$, потом прямоугольный импульс, абсцисса симметрии которого будет соответствовать моменту времени $t=0,5$ и последний дельта-импульс будет соответствовать моменту времени $t=1$. Запаздывание не рассматривается как сдвиг вдоль оси времени относительно начала системы координат. Речь идёт о запаздывании одного импульса относительно другого.

[Derik117]

profrotter в сообщении #863072 писал(а):

Derik117 в сообщении #862820 писал(а):

то первый дельта-импульс будет без запоздания, потом прямоугольный импульс с запозданием и последний дельта-импульс также будет с запазданием

То первый дельта-импульс будет соответствовать моменту времени $t=0$, потом прямоугольный импульс, абсцисса симметрии которого будет соответствовать моменту времени $t=0,5$ и последний дельта-импульс будет соответствовать моменту времени $t=1$. Запаздывание не рассматривается как сдвиг вдоль оси времени относительно начала системы координат. Речь идёт о запаздывании одного импульса относительно другого.

То есть можно самому выбрать импульс, который не запаздывает, и относительно него рассчитывать другие, так?

[profrotter]

Derik117 в сообщении #863076 писал(а):

То есть можно самому выбрать импульс, который не запаздывает, и относительно него рассчитывать другие, так?

Можно. Делать это желательно так, чтобы для выбранного импульса спектральная функция была известна или менее громоздко находилась. Например, если сигнал обладает симметрией, то чаще всего бывает удобнее найти спектр импульса, центр симметрии которого приходится на начало системы координат, а потом учесть, что заданный импульс запаздывает относительно рассмотренного.

[Derik117]

Решил попрактиковаться на другом сигнале.
Исходный сигнал:

(Оффтоп)

Исходные данные:
$U=5$ Вольт
$tu=1.1$ мкс
$T=11$ мкс
Сам сигнал продифференцировал.
$u'(t)=\frac{U}{tu}rect(\frac{t-tu/2}{tu})+U\delta(t-tu)$
Выполнил преобразование Фурье.
$U'(\omega)=Usinc(\frac{\omega tu}{2})e^{-j\omega\frac{tu}{2}}+Ue^{-j\omega tu}$
Нашел АЧС как модуль $U'(\omega)$.

(Оффтоп)

Нашел ФЧС как аргумент $U'(\omega)$.

(Оффтоп)

У меня вызывают подозрения графики АЧС и ФЧС. Как можно проверить себя?

[profrotter]

Так Вы нашли спектральную функцию производной сигнала. А надо спектральную функцию самого сигнала $U(\omega)=\frac {U'(\omega)}{j\omega}$.

Проверить себя ориентировочно так. Для действительного сигнала амплитудный спектр должен быть чётно-симметричным, фазовый спектр должен быть нечётно симметричным. Значение амплитудного спектра в нуле должно быть равно площади под графиком сигнала.

-- Чт май 15, 2014 16:10:08 --

Пскольку скачок на графике сигнала вниз, то и дельта-функция направлена вниз:

$$u'(t)=\frac{U}{tu}rect(\frac{t-tu/2}{tu})-U\delta(t-tu)$$

[Derik117]

profrotter в сообщении #863518 писал(а):

Так Вы нашли спектральную функцию производной сигнала. А надо спектральную функцию самого сигнала $U(\omega)=\frac {U'(\omega)}{j\omega}$.

Ведь тогда получается, что в нуле график устремиться в бесконечность, так и должно быть?

А АЧС всегда должен при определенных частотах падать в ноль или нет?
Просто функцию исправил, а график АЧС с осью $x$ не соприкасается все равно.

[profrotter]

Derik117 в сообщении #863672 писал(а):

Ведь тогда получается, что в нуле график устремиться в бесконечность

Тут сначала надо разбираться - предел посмотреть:

$$\lim\limits_{\omega\to 0}\frac{\operatorname{sinc}(\frac{\omega tu}{2})-e^{-j\omega\frac{tu}{2}}}{j\omega}=...$$

Здесь неопределённость "ноль на ноль". Можно применить правило Лопиталя и учесть, что производная $\operatorname{sinc}$ в нуле равна нулю.

Derik117 в сообщении #863672 писал(а):

А АЧС всегда должен при определенных частотах падать в ноль или нет?

В общем случае не должен. Например у экспоненциального импульса $s(t)=e^{-at},t>0$ амплитудный спектр описывается выражением $|S(\omega)|=\frac{1}{\sqrt{a^2+\omega^2}}$ и ось абсцисс не пересекает.

Качественно несимметричный треугольный импульс, который Вы рассматриваете, - это очень грубая аппроксимация экспоненциального импульса, и амплитудный спектр его будет приближённо напоминать амплитудный спектр экспоненциального импульса, искажённый пульсациями.

[Derik117]

profrotter
Еще раз пересчитал, вот такой АЧС получился.

(Оффтоп)

В нуле получается $5.5$, хотя должно быть в два раза меньше. Потому что площадь под графиком сигнала равна $2.75$.

[profrotter]

Derik117 в сообщении #863926 писал(а):

Потому что площадь под графиком сигнала равна $2.75$.

Да, площадь под графиком сигнала $\frac{Ut_u}{2}$. Почему у вас другое - не могу сказать. Не вижу никаких расчётов. Только картинка. Картинка, кстати, должна получиться другая. У меня вот случайно пример заволялся:

Возможно, что и у вас такая же, только в другом масштабе.

[Derik117]

profrotter
Вот весь план расчетов, делал в маткаде. К сожалению, не могу никак понять, как можно по другому задать ось времени, не используя коэффициент $i$. С масштабом поэтому беда. В матлабе с графиками проще(задал переменную, выбрал начальное значение, любой шаг, и конечное значение, и все, график готов), но в нем нет рабочей области, типа 'лист бумаги', что все было на глазах и не нужно было в истории команд искать нужное.
Пересматривал работу несколько раз - не вижу ошибок.
Может Вы сможете найти ошибку? Извиняюсь, если очень много прошу у Вас.
https://www.dropbox.com/s/rj47hutyvjvdo ... %D0%97.pdf
Вот отчет в .pdf. 1.5 Мб.
Если так не принято, могу перепечатать все на форум.

[profrotter]

На ошибку я вам уже указывал:

profrotter в сообщении #863518 писал(а):

Пскольку скачок на графике сигнала вниз, то и дельта-функция направлена вниз:

Только Вы этот минус в выражении для сигнала поставили, а в выражение для спектральной функции так и оставили почему-то плюс.

Не знаю как в новом маткаде, в старом достаточно просто было указать переменную по оси абсцисс и функцию по оси ординат и он сам строил график. Можете создать отдельную тему с вопросами по построению графиков в маткаде.

[Derik117]

profrotter в сообщении #863979 писал(а):

На ошибку я вам уже указывал:

profrotter в сообщении #863518 писал(а):

Пскольку скачок на графике сигнала вниз, то и дельта-функция направлена вниз:

Только Вы этот минус в выражении для сигнала поставили, а в выражение для спектральной функции так и оставили почему-то плюс.

И вправду, приелся мне этот плюс что-ли. Изменил знак - вот что получилось, мне уже это больше нравится.

(Оффтоп)

Еще заметил ошибку в формуле сигнале, изначально были параметры на графике:
$U=5$ В
$tu=1.1$ мкс
А я почему то использовал вторую формулу. Первая все-таки будет правильной, так?

(Оффтоп)

http://s24.postimg.org/kvbd7aiqt/2014_05_16_17_37_27.png

[profrotter]

Правильной будет $s(t)=U\frac{t}{t_u}\operatorname{rect}\left(\frac{t-\frac{t_u}{2}}{t_u}\right)$. У вас там возможно вверху документа маткад осталось определение для $t_i$ и он его использует даже если написано $t$, получаются странные фокусы. Эта формула в точке $t=t_u$ обязана дать $U$, так как $\frac{t_u}{t_u}=1$, а прямоугольная функция даёт либо единицу, либо ноль.

Кстати, нашёл пример программы в маткад для построения спектров: http://circuits-signals.narod.ru/progmathcad.pdf

[Derik117]

profrotter в сообщении #864018 писал(а):

Правильной будет $s(t)=U\frac{t}{t_u}\operatorname{rect}\left(\frac{t-\frac{t_u}{2}}{t_u}\right)$. У вас там возможно вверху документа маткад осталось определение для $t_i$ и он его использует даже если написано $t$, получаются странные фокусы. Эта формула в точке $t=t_u$ обязана дать $U$, так как $\frac{t_u}{t_u}=1$, а прямоугольная функция даёт либо единицу, либо ноль.

Кстати, нашёл пример программы в маткад для построения спектров: http://circuits-signals.narod.ru/progmathcad.pdf

Вот, создал чистый файл, заного все ввел и построил. Получилось тоже самое.
Вроде $tu$ в знаменателе формулы прямоугольного импульса должна быть, одна без нее график выглядит так, как нужно.
Считаете, что это все-таки ошибка математической программы?
Это вот чистый файл только с графиками.

(Оффтоп)

https://dl.dropboxusercontent.com/u/64928153/prt.pdf

А это заданый сигнал из методички. Может быть, я не так что-то понимаю вообще.

(Оффтоп)

https://dl.dropboxusercontent.com/u/64928153/prt2.pdf