Нужны ли нам новые числа? (Иные поля чисел)

[Brukvalub]

STilda писал(а):

я имею ввиду алгебры над группами симметрий.

Видимо, нехватка образования не позволяет мне понять, что это такое. Прошу Вас дополнить соответствующую статью из Википедии: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0% ... 1.80.D1.8B

[STilda]

Дополнять конечно мы не будем )). Это на днях господин tolstopuz открыл для меня такое понятие "алгебра над группой".

tolstopuz писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring

Добавлено спустя 6 минут 48 секунд:

Вы знаете, возможно я не правильный термин использую.

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Дополнять конечно мы не будем )). Это на днях господин tolstopuz открыл для меня такое понятие "алгебра над группой".

tolstopuz писал(а):

http://en.wikipedia.org/wiki/Group_ring

Правильно "групповое кольцо", "групповая алгебра".

[Brukvalub]

Думаю, что нашему взаимопониманию помешал Ваш неточный перевод термина, который по-русски звучит как "групповые алгебры"

[STilda]

Да, так вот, если взять группу симметрии некоторого тела (в геометрическом понимании). А потом для нее рассмотреть групповую алгебру. Разные тела будут давать наверно алгебры с разными возможностями. Гдето такое кто-то видел? (в плане практического применения)

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Да, так вот, если взять группу симметрии некоторого тела (в геометрическом понимании). А потом для нее рассмотреть групповую алгебру. Разные тела будут давать наверно алгебры с разными возможностями. Гдето такое кто-то видел? (в плане практического применения)

Да, конечно, в теории представлений. Правда, группы симметрии интересных тел обычно неабелевы, поэтому их групповые алгебры раскладываются не только на одномерные слагаемые.

Например, группа симметрии квадрата имеет порядок 8, и ее групповая алгебра раскладывается на четыре одномерных слагаемых и одно матричное 2x2. Матричное представление - это как раз матрицы поворота квадрата, соответствующие элементам группы.

Тетраэдр: $12=1+1+1+3\cdot3$
Октаэдр (куб): $24=1+1+2\cdot2+3\cdot3+3\cdot3$
Икосаэдр (додекаэдр): $60=1+3\cdot3+3\cdot3+4\cdot4+5\cdot5$

В каждом из этих примеров одно из $3\cdot3$ выглядит именно как матрицы поворота соответствующей фигуры.

(Это все для комплексного случая, то есть, например, для тетраэдра рассматривается групповая алгебра из 12 комплексных элементов. Вещественный случай немного сложнее.)

Это все очень интересно, но я пока читал про это только чуть-чуть у Артина, и вернусь к этому вопросу не ранее, чем через полгода. Так что помочь могу не сильно.

[tolstopuz]

Хе. Только что узнал, что в абелевом случае изоморфизм $\mathbb{C}G$ и $\mathbb{C}^n$ наидетальнейше изучен и называется дискретным преобразованием Фурье.

Вот, например, еще одно физическое применение трехмерных чисел и их изоморфного представления:

The three-point DFT has a special significance, e.g. as symmetrical components transform (SCT) of Charles Legeyt Fortescue's 1918 paper, that defines three phase balance, i.e. the 3-DFT breaks a signal up into a DC component, as well as two AC components, one going clockwise, and the other going counter clockwise.
http://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix

Charles Legeyt Fortescue in a paper presented in 1918 (Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks) demonstrated that any set of N unbalanced polyphase quantities could be expressed as the sum of N symmetrical sets of balanced phasors. Only a single frequency component is represented by the phasors.
http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetrical_components

(система STilda, где $A+B+C=0$, - частный случай трехфазного тока с нулевой постоянной компонентой)

[STilda]

tolstopuz писал(а):

(Это все для комплексного случая, то есть, например, для тетраэдра рассматривается групповая алгебра из 12 комплексных элементов. Вещественный случай немного сложнее.)

Ну, это, на сколько я могу судить, уже касается конкретного представления группы.

А такой вопрос. Элемент группы симметрии отвечает за преобразование фигуры, операция "умножения" группы отвечает за последовательное применение преобразований. Допустим я хочу расширить группу до кольца, тоесть ввести еще операцию "сложения". Что бы это могло значить геометрически?

Добавлено спустя 9 минут 7 секунд:

tolstopuz писал(а):

(система STilda, где $A+B+C=0$, - частный случай трехфазного тока с нулевой постоянной компонентой)

Кстати, раз уж зашла речь. Если эту систему1 рассматривать только с целыми числами-коеффициентами, и комплексные числа тоже с целыми коэффициентами, тогда они не изоморфны.

tolstopuz писал(а):

Хе. Только что узнал, что в абелевом случае изоморфизм $\mathbb{C}G$ и $\mathbb{C}^n$ наидетальнейше изучен и называется дискретным преобразованием Фурье.

Аа, да, возможно. Нужно глянуть.

P.S. Мож по группам их алгебрам и представлениям открыть другую тему?

[tolstopuz]

STilda писал(а):

Ну, это, на сколько я могу судить, уже касается конкретного представления группы.

Нет. Групповая алгебра раскладывается в прямую сумму всех неприводимых представлений, из которых, как из кирпичиков, может быть собрано любое представление группы.

STilda писал(а):

Допустим я хочу расширить группу до кольца, тоесть ввести еще операцию "сложения". Что бы это могло значить геометрически?

Не знаю.

STilda писал(а):

Кстати, раз уж зашла речь. Если эту систему1 рассматривать только с целыми числами-коеффициентами, и комплексные числа тоже с целыми коэффициентами, тогда они не изоморфны.

Да, естественно (только мне проще говорить о рациональных коэффициентах, чтобы получилась групповая алгебра, а не просто кольцо).

$$\mathbb{C}C_3\cong\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}\oplus\mathbb{C}$$

$$\mathbb{R}C_3\cong\mathbb{R}\oplus\mathbb{C}$$

$$\mathbb{Q}C_3\cong\mathbb{Q}\oplus\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$$

Механизм здесь одинаковый: если в базисе разложения над $\mathbb{C}$ встречаются числа, не принадлежащие основному полю, то их можно объединить в группы "сопряженных" представлений и собрать из каждой группы одно многомерное представление над основным полем.

Как и предсказывала теорема Машке, получающиеся при такой сборке многомерные числовые системы ($\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$) являются полями.

Вот, кстати, и ответ на ваш вопрос о сопряженности.

Система1:

$$(xA+yB+zC)(yA+xB+zC)=(xy+xz+yz)(A+B+C)$$

Система2:

$$(xA+yB+zC+wD)(zA+yB+xC+wD)=(x+z)(y+w)(A+C)+2(xz+yw)B+(x^2+y^2+z^2+w^2)D$$

Система3:

$$(xA+yB+zC+wD)(yA+zB+xC+wD)(zA+xB+yC+wD)=$$

$$(xyz+xyw+xzw+yzw+x^2y+\ldots+zw^2)(A+B+C)+(3xyz+3xyw+3xzw+3yzw+x^3+y^3+z^3+w^3)D$$

Для пятимерных чисел будут сопряженные четверки, для шестимерных - опять пары. Ну и так далее, согласно порядку группы автоморфизмов.