Существование корня из р-адического числа

[dolphin]

Предположим для p-адических чисел х и y ($x, y \in Z_p^+$) существуют корни при значениях p равных соответственно $[p_x]$ и $[p_y]$. Правильно ли утверждать, что $\sqrt {-\frac x y}$ существует для р равных $($$p \equiv 1 \pmod 4$$) \cap [p_x] \cap [p_y]$ ?

[dolphin]

Чтобы быть точным отмечу еще, что в данном примере $p \neq 2$

[Sonic86]

(я не знаю как Вы, а я не въехал)

dolphin в сообщении #862631 писал(а):

$[p_x]$ и $[p_y]$.

Что это? Множества? Далее считаю так, но обозначение странное. Я буду писать $P_x, P_y$, Вы как хотите.

dolphin в сообщении #862631 писал(а):

Предположим для p-адических чисел х и y ($x, y \in Z_p^+$) существуют корни при значениях p равных соответственно $[p_x]$ и $[p_y]$.

Вы так говорите, как будто $x,y$ могут быть одними и теми же для разных значений $p$.
Видимо, следует считать $x$ последовательностью $\{x_k\}$ (с соотв-ми ограничениями на $x_k$ по модулю $p^k$), которой соответствует $p$-адическое число $\{x_k \bmod p^k\}_{k=1}^{+\infty}$. Аналогично для $y$.
Нет, неправильно: не могут быть согласованы ограничения по всем модулям $p^k$.

1) Пусть $p$ - простое число, $u=\{u_k\}$ - $p$-адическое число. Тогда $u=\frac{a}{b}$, где $a,b$ - целые $p$-адические числа. Тогда $\sqrt{u}$ существует $\Leftrightarrow$ существует корень из $ub^2=ab$ - целого $p$-адического числа.
2) Пусть $t=\{t_k\}$ - целое $p$-адическое число. Тогда $\sqrt{t}$ существует $\Leftrightarrow$ $t_1$ - квадратичный вычет по модулю $p$ при $p\neq 2$.
Отсюда все следует.

(Оффтоп)

А с подобными обозначениями и формулировками парьтесь сами.

[dolphin]

Попробую еще раз (без минуса под корнем и упростив обозначения). Для некоторого p-адического числа $x \in Z_p^+$ корень существует только при определенных значениях p (например, $\sqrt 3$ не существует в 7-адической системе счисления), которые я обозначил в виде массива $[p_x]$. Для другого числа y ситуация аналогична. Вопрос в том, справедливо ли утверждение что $\sqrt {\frac x y}$ существует для р принадлежащих одновременно $[p_x]$ и $[p_y]$ ?

[Sonic86]

(я по-прежнему не понимаю)

dolphin в сообщении #862729 писал(а):

Для некоторого p-адического числа $x \in Z_p^+$ корень существует только при определенных значениях p

Мне определенно не нравятся такие формулировки. Сразу возникает впечатление, что $x$ один на все $\mathbb{Z}_p$, причем еще и произволен. Нельзя просто так взять и выбрать какое-то одно произвольное $x$, а потом отобразить его по всевозможные $\mathbb{Z}_p$, т.е. это можно сделать только для целых чисел (м.б. для рациональных тоже). В остальных случаях это нечто бессмысленное. Либо надо приводить какие-то предварительные построения, которые Вы не пишите. М.б. они есть в теории, а я их просто не знаю. Это можно так сделать для целых $p$-адических:
Пусть $\{a_k\}$ - произвольная последовательность целых чисел, а $x_0 = a_0, x_k=x_{k-1}+a_kp^k$, $x=\{x_k\}$. Вот тогда $x$ можно обозвать $p$-адическим числом для произвольного $p$. М.б. для Вас это очевидно, а я вот не сразу додумался.

dolphin в сообщении #862729 писал(а):

Вопрос в том, справедливо ли утверждение что $\sqrt {\frac x y}$ существует для р принадлежащих одновременно $[p_x]$ и $[p_y]$ ?

Я Вам уже подсказал достаточно для решения этого вопроса в осмысленной формулировке. Что Вам конкретно непонятно. Приводите попытки решения.