О значениях определителя с элементами из конечного поля

[notabene]

Пусть у нас есть конечное поле $Z_q$. Рассмотрим матрицу n на n с элементами из этого поля. Ну, например, пусть есть поле $Z_3$ и матрицы размером 5 на 5. Равно ли количество матриц с определителем равным 1 количеству матриц, с определителем равным 2? Из соображений симметрии вроде бы равно, но доказательства, что-то не придумал. То, что количество матриц с определителем равным 0, не равно количеству матриц с определителем 1 мне известно.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[nnosipov]

notabene в сообщении #862619 писал(а):

Равно ли количество матриц с определителем равным 1 количеству матриц, с определителем равным 2?

Равно, и это довольно очевидно. Что нужно сделать с матрицей, определитель которой равен единице, чтобы её определитель стал равен двум?

[ИСН]

Если Вы попробуете строго формализовать эти соображения симметрии, они либо исчезнут, либо превратятся в доказательство.

[notabene]

Цитата:

Равно, и это довольно очевидно. Что нужно сделать с матрицей, определитель которой равен единице, чтобы её определитель стал равен двум?

Умножить на 2 любую строку или столбец.
Как установить взаимнооднозначное соответствие что-то не вижу.
Банальную фразу про соображения симметрии я тоже знаю.

[bot]

Например, из этой строчки

notabene в сообщении #862627 писал(а):

Умножить на 2 любую строку или столбец.

очевидно

notabene в сообщении #862627 писал(а):

Как установить взаимнооднозначное соответствие

[Cash]

notabene в сообщении #862627 писал(а):

Как установить взаимнооднозначное соответствие что-то не вижу

Достаточно построить инъекцию в одну сторону и обратно. В принципе, там и взаимнооднозначность тоже рядом.

[notabene]

Возможно, я чего-то недопонимаю, возможно у меня переклин, поэтому заранее прошу извинить. У меня есть матрица с определителем 2. Какую матрицу с определителем 1 я должен поставить ей в соответствие?

[ewert]

Скажем так: достаточно доказать инъективность (т.е. взаимную однозначность), тогда она автоматически окажется и биекцией, т.к. обратное отображение очевидно. А вот инъективность, формально говоря, действительно надо доказывать, хотя доказательство и очевидно.

[notabene]

"Очевидно" говорят в трех случаях. Какой здесь?

[Brukvalub]

Здесь тот самый случай!

[Cash]

Давайте сначала. Пусть $A_1$ - множество матриц с определителем, равным $1$. $A_2$ - соответственно с определителем, равным $2$.
1. Укажите $\varphi_{12} \colon A_1 \to A_2$.
2. Будет ли $\varphi_{12}$ инъекцией?
3. Если на пункт 2 ответ да, то что за отображение $\varphi_{21}=\varphi^{-1}_{12}$?
4. Будет ли $\varphi_{21}$ инъекцией?
5. Что следует, если и на этот вопрос ответ да?
На пункт 1 Вы почти ответили. Ответы на пп.2-5 варьируются от очевидно до тривиально

[Lia]

Vladislav Stud
Замечание за оффтоп. Оффтоп удален.

[ewert]

Cash в сообщении #862652 писал(а):

На пункт 1 Вы почти ответили.

Только вот ответил как-то неопределённо -- возможно, из-за этого и проблемы:

notabene в сообщении #862627 писал(а):

Умножить на 2 любую строку или столбец.

В каком смысле "любую"?...