2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 13:38 
Пусть у нас есть конечное поле $Z_q$. Рассмотрим матрицу n на n с элементами из этого поля. Ну, например, пусть есть поле $Z_3$ и матрицы размером 5 на 5. Равно ли количество матриц с определителем равным 1 количеству матриц, с определителем равным 2? Из соображений симметрии вроде бы равно, но доказательства, что-то не придумал. То, что количество матриц с определителем равным 0, не равно количеству матриц с определителем 1 мне известно.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение13.05.2014, 13:49 
 i  Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 13:52 
notabene в сообщении #862619 писал(а):
Равно ли количество матриц с определителем равным 1 количеству матриц, с определителем равным 2?
Равно, и это довольно очевидно. Что нужно сделать с матрицей, определитель которой равен единице, чтобы её определитель стал равен двум?

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 13:53 
Аватара пользователя
Если Вы попробуете строго формализовать эти соображения симметрии, они либо исчезнут, либо превратятся в доказательство.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:14 
Цитата:
Равно, и это довольно очевидно. Что нужно сделать с матрицей, определитель которой равен единице, чтобы её определитель стал равен двум?

Умножить на 2 любую строку или столбец.
Как установить взаимнооднозначное соответствие что-то не вижу.
Банальную фразу про соображения симметрии я тоже знаю.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:19 
Аватара пользователя
Например, из этой строчки
notabene в сообщении #862627 писал(а):
Умножить на 2 любую строку или столбец.
очевидно
notabene в сообщении #862627 писал(а):
Как установить взаимнооднозначное соответствие

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:25 
notabene в сообщении #862627 писал(а):
Как установить взаимнооднозначное соответствие что-то не вижу

Достаточно построить инъекцию в одну сторону и обратно. В принципе, там и взаимнооднозначность тоже рядом.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:30 
Возможно, я чего-то недопонимаю, возможно у меня переклин, поэтому заранее прошу извинить. У меня есть матрица с определителем 2. Какую матрицу с определителем 1 я должен поставить ей в соответствие?

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:32 
Скажем так: достаточно доказать инъективность (т.е. взаимную однозначность), тогда она автоматически окажется и биекцией, т.к. обратное отображение очевидно. А вот инъективность, формально говоря, действительно надо доказывать, хотя доказательство и очевидно.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:36 
"Очевидно" говорят в трех случаях. Какой здесь?

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 14:41 
Аватара пользователя
Здесь тот самый случай! :D

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 15:17 
Давайте сначала. Пусть $A_1$ - множество матриц с определителем, равным $1$. $A_2$ - соответственно с определителем, равным $2$.
1. Укажите $\varphi_{12} \colon A_1 \to A_2$.
2. Будет ли $\varphi_{12}$ инъекцией?
3. Если на пункт 2 ответ да, то что за отображение $\varphi_{21}=\varphi^{-1}_{12}$?
4. Будет ли $\varphi_{21}$ инъекцией?
5. Что следует, если и на этот вопрос ответ да?
На пункт 1 Вы почти ответили. Ответы на пп.2-5 варьируются от очевидно до тривиально

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 15:19 
 !  Vladislav Stud
Замечание за оффтоп. Оффтоп удален.

 
 
 
 Re: О значениях определителя с элементами из конечного поля
Сообщение13.05.2014, 15:23 
Cash в сообщении #862652 писал(а):
На пункт 1 Вы почти ответили.

Только вот ответил как-то неопределённо -- возможно, из-за этого и проблемы:

notabene в сообщении #862627 писал(а):
Умножить на 2 любую строку или столбец.

В каком смысле "любую"?...

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group