Устойчивость полинома

[Vintovar]

Будем рассматривать полиномы вида

$$P(s)=P^{even}(s)+P^{odd}(s)$$

где, $P(s)^{even}$ содержит все четные степени $P(s)$, а $P^{odd}(s)$ все нечетные.
Рассмотрим два полинома с одинаковой четной частью

$$P_1(s)=P^{even}(s)+P_1^{odd}(s)$$

$$P_2(s)=P^{even}(s)+P_2^{odd}(s)$$

Известно, что они оба устойчивы. Требуется доказать устойчивость полинома

$$Q(\alpha, \beta, s) = P^{even}(s)+\alpha P_1^{odd}(s)+\beta P_2^{odd}(s)$$

для любых $\alpha, \beta > 0$

Я пробовал воспользоваться теоремой о пересечении границ. Ничего не вышло, т. к. вообще не понимаю в чем суть этой теоремы. Потом пытался воспользоваться обобщением принципа исключения нуля. Удалось доказать, что $Q(\alpha, \beta, i\omega)\not= 0$, но не получилось найти в этом семействе устойчивого полинома, чтобы применить теорему. Ну и в отчаянии решился на использование критерия Гурвица. Там совсем запутался.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (М)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
$P_1^{odd}(s), P_2^{odd}$ не определены

[ewert]

По одному из критериев Михайлова устойчивость многочлена равносильна правильности чередования корней его чётной и нечётной составляющих. По предположению корни как $P_1^{odd}(s)$, так и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в правильных интервалах. Остаётся доказать, что у любой их нетривиальной линейной комбинации ( с коэффициентами одного знака) каждый из этих корней не выйдет из своего интервала; ну так это следует попросту из теоремы Больцано-Коши о промежуточных значениях.

-- Вт май 13, 2014 14:49:55 --

Deggial в сообщении #862609 писал(а):

$P_1^{odd}(s), P_2^{odd}$ не определены

Что значит "не определены"? По условию задачи они таковы, что обеспечивают устойчивость каждой из двух сумм, и этого достаточно.

[Vintovar]

Я так понял, что "один из критериев Михайлова", на который вы ссылаетесь, это теорема Эрмита-Билера http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%80%D0%B0
У вас ее не верное толкование. Тем более, что по условию не известно, что корни $P_1^{odd}(s)$ и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в нужных интервалах, так как это не следует из того, что полиномы $P_1(s)=P^{even}(s)+P_1^{odd}(s)$ и $P_2(s)=P^{even}(s)+P_2^{odd}(s)$ устойчивы.

[ewert]

Я имел в виду вот что. Обычно критерий Найквиста-Михайлова формулируют в терминах годографа: устойчивость многочлена равносильна тому, что при перемещении $s$ вдоль мнимой оси значение $P(s)$ делает правильное количество полуоборотов на комплексной плоскости (и это почти непосредственно следует из принципа аргумента). Однако есть и другой вариант этого критерия, который кто-то где-то, если мне не отшибает память, называет вторым критерием Михайлова:

Многочлен $P(s)$ устойчив тогда и только тогда, когда:
1) устойчивы многочлены $f(t)=P^{even}(\sqrt t)$ и $g(t)=\frac1{\sqrt t}P^{odd}(\sqrt t)$;
2) корни этих многочленов чередуются, причём ближайшим к нулю является корень $f(t)$.

Эквивалентность этих двух формулировок должна быть очевидной, во всяком случае, в принципе: если годограф делает правильное количество полуоборотов, то он вынужденно пересекает вещественные и мнимые полуоси во вполне определённом порядке, а это как раз и означает именно такое чередование корней $f$ и $g$.

[Vintovar]

Ну так то да. Согласен с вашей формулеровкой. Теорема Эрмита-Билера сама непосредственно следует из критерия Михайлова.
Но решение от этого верным не становится)

[ewert]

Vintovar в сообщении #862641 писал(а):

по условию не известно, что корни $P_1^{odd}(s)$ и $ P_2^{odd}(s)$ лежат в нужных интервалах,

Как это неизвестно?... Корни чётной составляющей ведь фиксированы, вот они и зажимают корни обеих нечётных.

-- Вт май 13, 2014 16:53:10 --

ewert в сообщении #862646 писал(а):

1) устойчивы многочлены $f(t)=P^{even}(\sqrt t)$ и $g(t)=\frac1{\sqrt t}P^{odd}(\sqrt t)$;

Упс, пардон. Это я попытался сократить формулировку и сделал это неудачно. Правильная версия: "если все корни этих многочленов -- простые и отрицательные".

[Vintovar]

Хорошо. но я все равно не до конца понял вашу мысль.
Пусть $P_1(i\omega)=P^{even}(i\omega)+\frac{P_1^{odd}(i\omega)}{i\omega} = P^{e}+iP_1^{o}$. Аналогично для $P_2$. Известно, что корни полиномов $P^{e}$ и $P_{1}^{o}$ просты, вещественны и чередуются. Так же для $P_2$.
$Q(\alpha, \beta, i\imega) = P^{e}(\omega)+i(\alpha P_1^{o}(\omega)+\beta P_2^{o}(\omega))$. Доказать, что корни нетривиальной линейной комбинации полиномов $P_1^{o}(\omega)$ и $P_2^{o}(\omega)$ остаются в интервалах, ограниченных корнями $P^{e}(\omega)$. Но как это следует из теоремы Больцано-Коши?

[ewert]

Vintovar в сообщении #862686 писал(а):

Но как это следует из теоремы Больцано-Коши?

Хорошо, уточним. Пусть $t_1^{(0)},\,t_2^{(0)},\,\ldots$ -- корни многочлена $f(t)$, $t_1^{(1)},\,t_2^{(1)},\,\ldots$ -- корни $g_1(t)$ и $t_1^{(2)},\,t_2^{(2)},\,\ldots$ -- корни $g_2(t)$. Из устойчивости многочленов $P_1(s)=f(s^2)+s\,g_1(s^2)$ и $P_2(s)=f(s^2)+s\,g_2(s^2)$ следует, что корни $t_k^{(1)}$ чередуются с корнями $t_k^{(0)}$, и ровно таким же способом чередуются с ними корни $t_k^{(2)}$. Это означает, что каждая пара корней $t_k^{(1)},\;t_k^{(2)}$ попадает в один и тот же из интервалов, на которые вещественная ось делится точками $t_i^{(0)}$. А надо доказать, что в тот же самый интервал попадает и соответствующий (по номеру) корень $t_k$ многочлена $g(t)=\alpha\,g_1(t)+\beta\,g_2(t)$. Ну так и докажите более сильное утверждение -- что $t_k$ лежит в интервале между $t_k^{(1)}$ и $t_k^{(2)}$. Для этого Больцано-Коши вполне достаточно.

[Vintovar]

Спасибо вам большое. Я вас понял)

-- 13.05.2014, 18:13 --

Хотя...
Пусть $g( t_k^{(1)})=\beta g_2( t_k^{(1)})=\beta A$ и $g( t_k^{(2)})=\alpha g_2( t_k^{(2)})=\alpha B$, тогда по теореме Больцано-Коши для любого С из промежутка $[\beta A; \alpha B]$
существует точка $t_k$ из $[t_k^{(1)};t_k^{(2)}]$ такая что, $P(t_k)=C$. В нашем случае С=0 должно быть. Но почему ноль будет принадлежать $[\beta A; \alpha B]$? Что мы знаем о знаках $A$ и $B$?

[ewert]

Vintovar в сообщении #862707 писал(а):

Что мы знаем о знаках $A$ и $B$?

Достаточно много знаем. Мы знаем, что каждый из многочленов не меняет знака от своего корня и вплоть до корня другого. И что в своих корнях они меняют знак в одном и том же направлении. Этого достаточно, чтобы их сумма принимала в этих корнях значения разных знаков.