Сколько существует последовательностей

[aurus]

Сколько существует последовательностей длины 8 из букв А,Б,В в записи которых хотя бы 3 буквы А?

Не понимаю как учесть условие "...в записи которых хотя бы 3 буквы А"
Пользуясь схемой:

Необходимо воспользоваться формулой для размещений с повторениями, т.к.
возможны комбинации: АААББББВ, АААВВВВБ, ББББВААА - элементы повторяются, меняется состав, порядок имеет значение.

Кол-во последовательностей длиной 8 из букв АБВ:
$n^k = 3^8 = 6561$
Моя попытка прийти к ответу:
1)Кол-во последовательностей длиной 5 из букв БВ:
$n^k = 2^5 = 32$
2)Кол-во различных способов скомбинировать ААА с последовательностью длиной 5 из букв БВ:
_Б/В_Б/В_Б/В_Б/В_Б/В_
на местах прочерков могут стоять или не стоять 3 буквы А вместе или раздельно.
Элементы повторяются, меняется состав, порядок имеет значение, поэтому опять размещения с повторениями: 2 - либо А либо ничего; 6 - кол-во мест.
$n^k = 2^6 = 64$ - скорей всего некорректно, т.к. получается последовательность уже из 11 символов.
3) по правилу произведения: ответ = 1)результат * 2)результат = 32 * 64 = 2048.

[Nemiroff]

aurus в сообщении #860444 писал(а):

на местах прочерков могут стоять или не стоять 3 буквы А вместе или раздельно.
Элементы повторяются, меняется состав, порядок имеет значение, поэтому опять размещения с повторениями: 2 - либо А либо ничего; 6 - кол-во мест.

Что этот полёт мысли означает?

aurus в сообщении #860444 писал(а):

Кол-во последовательностей длиной 5 из букв БВ:

А почему длина пять? Там же не "ровно три А", а "хотя бы три А".

[Deggial]

aurus в сообщении #860444 писал(а):

32 * 64 = 2048.

aurus, замечание за неоформление формул $\TeX$ом.

[aurus]

Nemiroff в сообщении #860447 писал(а):

aurus в сообщении #860444 писал(а):

на местах прочерков могут стоять или не стоять 3 буквы А вместе или раздельно.
Элементы повторяются, меняется состав, порядок имеет значение, поэтому опять размещения с повторениями: 2 - либо А либо ничего; 6 - кол-во мест.

Что этот полёт мысли означает?

aurus в сообщении #860444 писал(а):

Кол-во последовательностей длиной 5 из букв БВ:

А почему длина пять? Там же не "ровно три А", а "хотя бы три А".

Вы очень верно подметили про "хотя бы три", спасибо.
Попробую изъяснить свою мысль немного иначе с учётом поправки.
В выборке элементы повторяются, меняется состав и порядок имеет значение. Следовательно, используем формулу размещений с повторениями.
Количество последовательностей длиной 5 из букв АБВ:
$n^k = 3^5 = 243$

Теперь я не знаю как посчитать количество последовательностей длиной 8 из букв ААА и рассчитанных выше 243 последовательностей.

[Cash]

Исходную задачу можно разбить на подзадачи (в порядке возрастания сложности)
1. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв?
1.1. Сколько всего слов длины $8$ из двух букв?
2. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно одна буква А?
3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?

[ewert]

aurus в сообщении #860480 писал(а):

Теперь я не знаю как посчитать количество последовательностей длиной 8 из букв ААА и рассчитанных выше 243 последовательностей.

Надо просто разбросать эти А, А и А по восьми позициям (что описывается некоей стандартной формулой, имеющей даже своё название), а потом перебрать все двухбуквенные пятипозиционные комбинации (что Вы умеете).

Только Вам ведь давно уже сказали, что как раз этот вопрос Вас совершенно и не должен волновать; почему Вы не слушаете?... Переходите к обратному событию, как завещал Cash.

[TOTAL]

$(A+2)^8$ сумма коэффициентов при степени $A$ равной 3 или больше.

[ewert]

TOTAL в сообщении #860523 писал(а):

$(A+2)^8$ сумма коэффициентов при степени $A$ равной 3 или больше.

Ну да. И, что самое любопытное: ровно так же можно посчитать нужное количество, если заменить 8 на 100!

[aurus]

TOTAL в сообщении #860523 писал(а):

$(A+2)^8$ сумма коэффициентов при степени $A$ равной 3 или больше.

Получается задача на Бином Ньютона? прочитаю про него.

[ewert]

aurus в сообщении #862345 писал(а):

Получается задача на Бином Ньютона?

Нет, не на Бином Ньютона. Можете считать, что TOTAL просто пошутил (пусть и математически корректно); во всяком случае, для Вас так будет полезнее.

[aurus]

Cash в сообщении #860485 писал(а):

Исходную задачу можно разбить на подзадачи (в порядке возрастания сложности)
1. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв?
1.1. Сколько всего слов длины $8$ из двух букв?
2. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно одна буква А?
3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?

1. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв?
$n^k = 3^8 = 6561$
1.1. Сколько всего слов длины $8$ из двух букв?
$n^k = 2^8 = 256$
2. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно одна буква А?
$n^{k-1} \cdot k = 2^{8-1} \cdot 8 = (2^7) \cdot 8 = 1024 $
3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
$n^{k-2} \cdot ((k-1) + (k-2)) = (2^{8-2}) \cdot (7 + 6) = 2^{6} \cdot 13 = 832 $

Рассмотрел более простую задачу чтобы понять общий закон, но не смог.
Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В в записи которых хотя бы 1 буква А?
Возможные последовательности:

АБВ БАВ БВА
АББ БАБ ББА
АВБ ВАБ ВБА
АВВ ВАВ ВВА

АБА БАА повт
АВА ВАА повт
ААБ повт повт
ААВ повт повт

ААА повт повт

Кол-во получается:
$9 + 6 + 4 = 19$
или в другом виде:
$2^2 \cdot 3 + 4 + 2 + 1 = 19$
Как теперь получить это же число 19 в виде формулы, чтобы посчитать для своего случая где длина 8 - не знаю.

[Cash]

aurus в сообщении #863051 писал(а):

3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
$n^{k-2} \cdot ((k-1) + (k-2)) = (2^{8-2}) \cdot (7 + 6) = 2^{6} \cdot 13 = 832 $

Это неверно. Распишите подробно, как Вы считаете

-- Ср май 14, 2014 08:46:05 --

aurus в сообщении #863051 писал(а):

Как теперь получить это же число 19 в виде формулы, чтобы посчитать для своего случая где длина 8 - не знаю

$19=3^3-2^3$

aurus в сообщении #863051 писал(а):

Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В в записи которых хотя бы 1 буква А?

Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где есть буква А?
Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где нет буквы А?

[aurus]

Cash в сообщении #863053 писал(а):

aurus в сообщении #863051 писал(а):

3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
$n^{k-2} \cdot ((k-1) + (k-2)) = (2^{8-2}) \cdot (7 + 6) = 2^{6} \cdot 13 = 832 $

Это неверно. Распишите подробно, как Вы считаете

Рассмотрим более простой вариант задачи. Сколько всего слов длины $4$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
ААБВ АБАВ АБВА БАВА БВАА
ААВБ АВАБ АВБА ВАБА ВБАА
ААВВ АВАВ АВВА ВАВА ВВАА
ААББ АБАБ АББА БАБА ББАА
Жирным:
$2^2 = 4$
Красным:
$3$ перестановки одной буквы А
Синим:
$2$ перестановки второй буквы А
Получаем:
$2^2 \cdot (3+2) = 4 \cdot 5=20 $
Следовательно, для случая с последовательностями длиной 8:
$2^6 \cdot (7+6) = 832 $

Cash в сообщении #863053 писал(а):

aurus в сообщении #863051 писал(а):

Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В в записи которых хотя бы 1 буква А?

Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где есть буква А?
Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где нет буквы А?

1. Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где есть буква А?
Нужных 19 штук, но если все вместе с повторами:
$3^3 = 27 $
2. Сколько существует последовательностей длины 3 из букв А,Б,В где нет буквы А?
$2^3 = 8 $
$3^3 - 2^3 = 19 $

[iifat]

ewert в сообщении #862436 писал(а):

Нет, не на Бином Ньютона. Можете считать, что TOTAL просто пошутил

Почему не на бином? Скажем так, вполне себе на связь бинома с самыми разнообразными комбинаторными задачами. Если это шутка, то неприличная. Потому что слишком похоже на правду.

-- 14.05.2014, 16:22 --

aurus в сообщении #863054 писал(а):

Сколько всего слов длины $4$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?

Вы забыли БААБ.

-- 14.05.2014, 16:24 --

Вопрос для контроля: сколько будет столбиков?

[aurus]

iifat в сообщении #863056 писал(а):

...

aurus в сообщении #863054 писал(а):

Сколько всего слов длины $4$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?

Вы забыли БААБ.
Вопрос для контроля: сколько будет столбиков?

Спасибо, правда потерял.

ААБВ АБАВ АБВА БАВА БВАА БААВ
ААВБ АВАБ АВБА ВАБА ВБАА ВААБ
ААВВ АВАВ АВВА ВАВА ВВАА ВААВ
ААББ АБАБ АББА БАБА ББАА БААБ
Жирным:
$2^2 = 4$
Красным:
$3$ перестановки одной буквы А
Синим:
$3$ перестановки второй буквы А
Получаем:
$2^2 \cdot (3+3) = 4 \cdot 6=24 $
Следовательно, для случая с последовательностями длиной 8:
$2^6 \cdot (7+7) = 896 $

Таким образом, отвечая на вопрос:

Cash в сообщении #863053 писал(а):

aurus в сообщении #863051 писал(а):

3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
$n^{k-2} \cdot ((k-1) + (k-2)) = (2^{8-2}) \cdot (7 + 6) = 2^{6} \cdot 13 = 832 $

Это неверно. Распишите подробно, как Вы считаете

3. Сколько всего слов длины $8$ из трёх букв и в которых ровно две буквы А?
$n^{k-2} \cdot ((k-1) + (k-1)) = (2^{8-2}) \cdot (7 + 7) = 896 $