Жук на барабане

[Oleg Zubelevich]

Андрей123 в сообщении #862187 писал(а):

У меня еще вопрос: насколько правомерно здесь составлять уравнения Лагранжа в общем случае? Т.к. при аппроксимации жука материальной точкой реакции же будут работу совершать.

мы считаем известным закон движения жука относительно диска (функция $f(t)$ в моем файле). Этот закон мы рассматриваем как идеальную связь, зависящую от времени. Работа реакции этой связи на действительных перемещениях совершается, на виртуальных не совершается.

[dovlato]

Дело не перестановке синуса и косинуса. Олег, Ваш жук не там находится!
Он должен быть на той же вертикали, но - ниже оси.
Я ведь недаром говорил о сходстве двух задач; жук находится там же, где нить с грузиком соприкасалась бы с цилиндром.
Я не считал, но, видимо, массы того грузика и жука - различны.

[Oleg Zubelevich]

dovlato в сообщении #862264 писал(а):

Он должен быть на той же вертикали, но - ниже оси.

все правильно, у меня по формулам и выходит, что $\cos\alpha<0$

[Андрей123]

Oleg Zubelevich в сообщении #862249 писал(а):

Андрей123 в сообщении #862187 писал(а):

У меня еще вопрос: насколько правомерно здесь составлять уравнения Лагранжа в общем случае? Т.к. при аппроксимации жука материальной точкой реакции же будут работу совершать.

мы считаем известным закон движения жука относительно диска (функция $f(t)$ в моем файле). Этот закон мы рассматриваем как идеальную связь, зависящую от времени. Работа реакции этой связи на действительных перемещениях совершается, на виртуальных не совершается.

Могли бы Вы подробнее объяснить. Разве действительные перемещения не являются подмножеством виртуальных?

[Oleg Zubelevich]

необязательно. Если у нас есть связь $\sum_k a_k(t,q)\dot q_k+b(t,q)=0$ то виртуальные перемещения определяются уравнением

$$\sum_k a_k(t,q)\delta q_k=0$$

[Андрей123]

Спасибо!
Не было необходимости раньше как-то со стационарными связями работать. И уже забылось. Теперь прояснилось.
А данную задачу я прямо через законы изменения импульса и момента решал.

[dovlato]

Эту задачу интересно решать в той системе, в которой ось барабана неподвижна.
Сила, с которой жук действует на барабан, равна

$$\vec f=m\vec d$$

где $\vec d=\vec g-\vec a$ - суммарное ускорение; $\vec a$ - ускорение оси в лаборат. системе.
Заметим, что для любого наперёд заданного ускорения $\vec d$ наибольший вращательный момент достигается тогда,
когда этот вектор направлен по касательной к поверхности барабана (!).
Именно это обстоятельство роднит данную задачу с той, где с барабана сматывается нить с грузом на конце.
Очевидно, что если бы эта нить соприкасалась с барабаном в точке нахождения жука, и сила её натяжения
была бы такая же $f$, то движение барабана происходило бы сходным образом, но, естественно, с несколько бОльшим ускорением.
Теперь расчёт с жуком. Напишем уравнение энергетического баланса (мощность жука идёт на увеличение кинетич. энергии системы)

$$mv\sqrt{a^2+g^2}=d/dt\left(M+m+J/R^2\right)v^2/2$$

Отсюда, учитывая, что $d/dt(v^2/2)=va$, получаем ускорение

$$a=\frac{g}{\sqrt{\left(1+\frac{M}{m}+\frac{J}{mR^2}\right)-1}}$$

Кстати, с тем же успехом жук мог бы бежать и по внутренней поверхности барабана
(наподобие того как дети барахтаются в прозрачных плавающих шарах - и по тем же самым мотивам).

[dovlato]

Кстати, задача легко обобщается на катание барабана по наклонной плоскости с углом наклона $\alpha$. Например, вверх.
Исходное уравнение энергетического баланса следует переписать чуть иначе

$$(\vec v, \vec g+\vec a)=d/dt(\mu v^2/2)$$

где обозначено $\mu=1+\frac{M}{m}+\frac{J}{mR^2}$.
Учитывая, что суммарное ускорение снова направлено по касательной, получим квадратное уравнение для ускорения, решение которого таково

$$a=\frac{g}{\sqrt{\mu^2-\cos^2 \alpha}+\sin\alpha}$$

При $\alpha=0$ оно, очевидно, переходит в ранее полученный результат, т.е. $a=\frac{g}{\sqrt{\mu^2-1}}$

[Oleg Zubelevich]

Предположим жук ползет по внутренней поверхности барабана так, что его скорость относительно барабана остается постоянной по модулю. При каких условиях на начальные данные и параметры задачи барабан с жуком будет вечно оставаться в ограниченной области?

[Oleg Zubelevich]

Несколько неожиданный, как мне кажется факт, состоит в следующем. Обозначим через $x$ угол между вертикалью и отрезком соединяющим центр барабана с точкой в которой находится жук. Тогда данная система описывается уравнениями Гамильтона с гамильтонианом

$$H=\frac{1}{2}a y^2+mgr\cos x,\quad a=\frac{1}{2mr^2(1+\cos x)+Mr^2+J}$$

Т.е. фазовый портрет качественно такой же , как в случае математического маятника.

[dovlato]

Кстати, можно предложить производную задачу, решаемую в рамках школьной физики.
Давно известна задача с цилиндром, с которого сматывается нить с грузом на конце.
Так вот, на этот цилиндр с другой стороны другая нить с другим грузом может также и наматываться.
По-прежнему имеется в виду стационарное движение, при котором ускорение цилиндра,
а также наклон нитей - постоянные, неизвестные априорно величины.
Ясно во первых, что это ускорение $a$ направлено в ту сторону, с которой висит бОльшая масса.
И во вторых, что наклон обеих нитей будет одинаковым, равным $a/g$.

[Oleg Zubelevich]

Сложность, точнее говоря, громоздкость таких задач состоит в том, что для того чтоб доказать, что такое движение существует нужно выписывать полную систему уравнений динамики + кинематика. В данной задаче, в частности, в уравнения войдет реакция со стороны пола на цилиндр, ну и силы натяжения нитей по обеим сторонам, разумеется.
Можно еще использовать уравнения Лагранжа, в них реакции идеальных связей не войдут, но тогда это система с тремя степенями свободы -- тоже штука громоздкая.

[dovlato]

Думаю, можно и без Лагранжа. Вводим одну (!) неизвестную - ускорение а. Оно сразу определит наклон нитей.
Пусть скорость оси $V$. Тогда кинетическая энергия системы

$$E_c=\mu\frac{V^2}{2}$$

В это $\mu$ вошло всё это сооружение..ну, это как-то там расписывается через массы и момент инерции.
При заданном наклоне нитей скорость изменения потенциальной энергии, очевидно, пропорциональна $V$

$$dU/dt=-f(a)V$$

Здесь $f(a)$ - тоже надо выписать. Ну, и, так как

$$f(a)V+a\frac{dE_c}{dV}=0$$

получим уравнение для ускорения.

[Oleg Zubelevich]

Это понятно, Вы предположили, что данное решение существует и нашли ускорение. А почему оно должно существовать? Из Ваших выкладок существование не следует.

[dovlato]

Из выкладок вроде бы существование не следует. Я тут просто описал, как действовал бы
(убедившись, что никому этим заниматься неохота, и собрав слабую волю в кулак).
Впрочем, сам факт (не)существования решения никак не зависит от метода.
А то, что оно должно существовать - чисто интуитивное убеждение.