Исследовать ряд на сходимость

[olga_helga]

Исследовать на сходимость ряд:

\[ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1} {{\ln (n + 3)}}} \]

По признаку Даламбера получается:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{a_{n + 1} }} {{a_n }} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1/\ln (n + 4)}} {{1/\ln (n + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1/(n + 3)}} {{1/(n + 4)}} = 1 \]

А по интегральному признаку:

\[ \int\limits_1^\infty {\frac{1} {{\ln (x + 3)}}} dx \]

Всяка решала, не могу взять!
Помогите решить!

[Brukvalub]

\[\ln (n + 3) < n\]

при n>1

[olga_helga]

и че дальше? !
Умом то я это понимаю, надо доказать по теории!
(признак сравнения, признак Коши,признак Даламбера, интегральный признак)!
По сравнению получается:

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1/\ln (n + 3)}} {{1/n}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{n} {{\ln (n + 3)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1} {{1/(n + 3)}} = \infty \]

Не работает!Число сравнения должно быть >0,<

\[ \infty \]

!

Добавлено спустя 4 минуты 55 секунд:

Или имеется в виду,что нужно использовать условие:
если

\[ a_n \leqslant b_n \]

,тоЖ
1)если ряд bn сходится,то и an тоже сх-ся
2)если ряд аn рассходится,то и bn тоже расх-ся?
Тогда, получается если

\[ \frac{1} {n} < \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

, то ряд

\[ \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

тоже расх-ся?Так что-ли?

Добавлено спустя 3 минуты 19 секунд:

Ой, извиняюсь,рав-во в другую сторону!

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Тогда, получается если

\[ \frac{1} {n} < \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

, то ряд

\[ \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

тоже расх-ся?Так что-ли?

Да.

[olga_helga]

А ну правильно!
1)если бы 1/т сходился, то 1/ln(n+3),тоже бы сх-ся из 1)условия
2)если бы 1/ln(n+3) расх-ся бы (а мы етого пока не доказали), то сх-ся бы 1/n из 2)
Получается ничего не выполняется!

Добавлено спустя 1 минуту 39 секунд:

Это было бы верно, если бы

\[ \frac{1} {n} < \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

, а у нас

\[ \frac{1} {n} > \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

!

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Это было бы верно, если бы

\[ \frac{1} {n} < \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

, а у нас

\[ \frac{1} {n} > \frac{1} {{\ln (n + 3)}} \]

!

Деточка, ну уж в программе 7-го класса общеобразовательной школы пора бы и разобраться (см. тему "Неравенства")

[olga_helga]

Прошу не оскарблять!
если 3 > 2, то 1/3 ну никак не больше 1/2,
а наоборот - 1/3 < 1/2!
Так что это вам необходимо посмотреть тему нер-ва!

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

\[\ln (n + 3) < n\] при n>1

\[ 0 < \ln (n + 3) < n \Rightarrow \frac{1}{n} < \frac{1}{{\ln (n + 3)}}\]

Советую извиниться...

Добавлено спустя 10 минут 40 секунд:

olga_helga писал(а):

Исследовать на сходимость ряд:

\[ \sum\limits_{i = 1}^n {\frac{1} {{\ln (n + 3)}}} \]

Да и ряд-то правильно записать не можете, а гонору - 47 вагонов....

[olga_helga]

Ну да не права!Простите пожалуйста, что углядела знак > вместо <.А гонору у меня нет! Да,я чего-то не знаю!Но я не тупая!И не люблю, когда мне указывают на те ошибки, которых у меня нет!
А ряд записан по превычке - суммой по i вместо n!

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Но я не тупая!

Я этого и не утверждал.

Brukvalub писал(а):

а гонору - 47 вагонов....

olga_helga писал(а):

И не люблю, когда мне указывают на те ошибки, которых у меня нет!

Я указывал Вам на ошибку, которая у Вас есть. Этого Вы тоже не любите?

olga_helga писал(а):

А ряд записан по превычке - суммой по i вместо n!

Слово "привычка" пишется через "и", а в верхнем пределе суммы в обозначении ряда указывается символ "бесконечность", так что Вам ещё есть над чем поработать.

[нг]

Господа, я прошу вас немного снизить накал страстей. Пожалуйста!