2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Жук на барабане
Сообщение10.05.2014, 21:13 
Жук массой $m$ находится на барабане массой $M$. Барабан катится по горизонтальному полу.
Жук, не желая попасть под барабан, бежит по нему в обратную сторону.
Бегает жук очень хорошо. Нигде никаких проскальзываний нет.
Найти максимально возможное постоянное ускорение барабана.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение10.05.2014, 21:53 
dovlato в сообщении #861451 писал(а):
Бегает жук очень хорошо.

Насколько хорошо?... умеет ли он бегать со скоростью света и выше?...

Если умеет, то бегает по правой крайней точке, естественно.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение10.05.2014, 22:01 
Нет, $v<<c$. По моему, не по крайней.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 09:35 
жук может некоторое ограниченное время поддерживать ускорение барабана равным любой наперед заданной константе

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 09:49 
Oleg Zubelevich в сообщении #861613 писал(а):
жук может некоторое ограниченное время поддерживать ускорение барабана равным любой наперед заданной константе

Речь идёт о:
1. не релятивистском жуке
2. теоретически неограниченном времени.
На третье - Теорема: Обе задачи: 1-я о жуке, и 2-я о барабане, катящемся с постоянным ускорением
под действием сматывающейся с него нити с грузом на конце - физически эквивалентны.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 18:24 
мы ищем решения такие, что высота на которой находится жук постоянна?

-- Вс май 11, 2014 18:25:09 --

dovlato в сообщении #861618 писал(а):
На третье - Теорема: Обе задачи: 1-я о жуке, и 2-я о барабане, катящемся с постоянным ускорением
под действием сматывающейся с него нити с грузом на конце - физически эквивалентны.

жук это система с одной степенью свободы; нить на барабане это две степени свободы

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 19:44 
Да, положение жука относительно оси барабана неизменно.
Нет; и там, и там - одна степень свободы. Потому что нить при постоянном(!) ускорении сохраняет постоянный наклон.

-- Вс май 11, 2014 21:00:33 --

Ну я же написал - постоянное ускорение (сама по себе задача с нитью известна давно; а вот жук прибежал ко мне давеча).
Чисто формально жук с барабаном - тоже 2 степени свободы: поворот барабана+смещение по нему жука.
Тут дело не этом, а в том, что решения обеих задач - в теснейшем родстве.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 20:01 
dovlato в сообщении #861451 писал(а):
Жук массой $m$ находится на барабане массой $M$. Барабан катится по горизонтальному полу.
Жук, не желая попасть под барабан, бежит по нему в обратную сторону.
Бегает жук очень хорошо. Нигде никаких проскальзываний нет.
Найти максимально возможное постоянное ускорение барабана.

$$\[
a_\mathrm{max}=\frac{mg}{\sqrt{\left(M+\dfrac{J}{r^2}\right)\left(2m+M+\dfrac{J}{r^2}\right)}},
\]$$
где $J$ -- момент инерции барабана, $r$ -- его радиус.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 20:16 
У меня получился такой же результат, как у drobyshev.

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 20:30 
мне немного лень досчитывать

надо найти максимум функции
$$\varepsilon(\alpha)=\frac{mgr\sin\alpha}{J+mr^2+mr^2\cos\alpha+Mr^2}$$
так? $\varepsilon$ -- угловое ускорение барабана

-- Вс май 11, 2014 20:34:39 --

хорошая задача

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 20:41 
По-моему, косинус в знаменателе - с минусом. Я искал максимум $$a=\frac{g\sin\alpha}{A-\cos\alpha}$$

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение11.05.2014, 22:51 
не исключено, что мы разные задачи решали

Изображение

Через $\gamma$ обозначен угол поворота барабана. $f(t)$ -- угол поворота жука относительно барабана $f(t)+\gamma(t)=\alpha=const$

система с одной степенью свободы, обобщенная координата $\gamma$ ;
дальше пишем уравнения Лагранжа http://www.fayloobmennik.net/3791987

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение12.05.2014, 04:50 
Oleg Zubelevich, у Вас $\cos,\sin$ перепутаны. Хотя чисто формально максимум будет тот же, просто $\cos\alpha<0$

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение12.05.2014, 05:41 
угол от оси y отсчитывается.

если не полениться идосчитать, то ответ совпадает с drobyshev

 
 
 
 Re: Жук на барабане
Сообщение12.05.2014, 12:24 
Да, извините не заметил. Интересно еще, что такое ускорение недостижимо, поскольку нормальная реакция со стороны барабана при таком движении будет 0.

У меня еще вопрос: насколько правомерно здесь составлять уравнения Лагранжа в общем случае? Т.к. при аппроксимации жука материальной точкой реакции же будут работу совершать.

 
 
 [ Сообщений: 36 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group