Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.

[tech]

ShMaxG
Когда я применяю нормальное приближение, получаю, что $P(\xi=0)=1.2$ при $n=50,\ p=1/500$.

[ShMaxG]

tech
Вообще-то нормальное распределение -- непрерывное, так что вероятность случайной величине принять любое конкретное значение равна 0. Но вам это и не надо.

[tech]

ShMaxG
Тогда вот что меня смущает.
$p(0\le\xi\le50)=F(158)-F(-0.3)=0.62$, $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dx$
$-0.3=\frac{k-np}{\sqrt{npq}},\ k=0$

[ShMaxG]

Откуда $p(0 \le \xi \le 50)$? Почему справа 50? Что такое $\xi$?

tech в сообщении #861713 писал(а):

Оценить вероятность того, что число "успехов" в 50 испытаниях будет не менее 3, использовав нормальное и пуассоновское приближения, а также сравнить результаты.

Запишите строго, что значит "вероятность того, что число "успехов" в 50 испытаниях будет не менее 3".

[tech]

ShMaxG
$P(0 \le \xi \le 50)$ - вероятность того, что в цепочке из 50 испытаний будет от 0 до 50 "успехов". Почему она не 1?
$\xi$ – число "успехов" в цепочке из n испытаний.

[ShMaxG]

В точности она равна единице. Но если мы оцениваем эту вероятность с помощью нормального приближения, то получаем не единицу, потому что нормальная случайная величина может принимать любые значения на действительной оси. В том числе и отрицательные. Но мы пользуемся этим приближением, потому что это очень удобно, так как функция стандартного нормального распределения затабулирована, а для точного расчета вероятностей приходится рассчитывать всякие числа сочетаний, а это сложно.

[tech]

ShMaxG
А оправдано ли вообще в таком случае (когда сумма вероятностей всех возможных событий получается меньше 1) использование нормального приближения?

[ShMaxG]

А вот это вам и предлагают выяснить! Да еще и с пуассоновским приближением сравнить. Так что решайте свою задачу и выясняйте, оправдано это или нет.

[tech]

ShMaxG
Тут возникает другая проблема: посчитать $F(158)-F(9)$. Любые таблицы скажут, что это $\approx0.5-0.5=0$. Собственно, тут я и подумал, вдруг получится получить больше знаков после запятой, если посчитать вероятность противоположного события и вычесть эту вероятность из $1$. Так обнаружилось, что сумма вероятностей всех событий получается меньше $1$, если использовать нормальное приближение.
Пуассоновское приближение говорит $1.5\cdot10^{-4}$, что совпадает с результатом без использования приближений.
Так что я не знаю, что делать с нормальным приближением.

[ShMaxG]

Нет, все нормально. Плотность $\xi$ (в нормальном приближении) уже после единицы становится очень малой (еще бы, с такой-то дисперсией). Так что мы получаем, что нормальное приближение в данной задаче совершенно неадекватно реальности. Так что на будущее запомните, что и такое бывает...

tech в сообщении #861897 писал(а):

Собственно, тут я и подумал, вдруг получится получить больше знаков после запятой, если посчитать вероятность противоположного события и вычесть эту вероятность из $1$.

А это добавит ложку дегтя к адекватности нормального приближения в данном случае, так как вероятность того, что $\xi$ будет от 0 до 3 равно $0.62$. Это из-за того, что в нормальном приближении $\xi$ принимает отрицательные значения с вероятностью $0.37$.

Но это касается лишь данной задачи. При увеличении $n$ к бесконечности, "однажды", нормальная модель оправдает себя.

[tech]

ShMaxG в сообщении #861905 писал(а):

Плотность $\xi$ (в нормальном приближении) уже после единицы становится очень малой (еще бы, с такой-то дисперсией). Так что мы получаем, что нормальное приближение в данной задаче совершенно неадекватно реальности.

Вот этого я немного не понял. И что из этого следует? Как вы из этого делаете вывод о неадекватности нормального приближения?

[ShMaxG]

Вероятность того, что $\xi$ больше 3, согласно нормальному приближению, равна 0 (с очень большой точностью, так как вероятность, что она меньше 2 равна 0.999999999096922, посчитал в Матлабе). А точное значение -- порядка $10^{-4}$. К тому же, большая (37%) концентрация в области отрицательных значений. Все это говорит о неадекватности нормальной модели.

[tech]

ShMaxG
А, всё, понял, вы сравнили со значением, посчитанным без приближений.
Большое спасибо за помощь!