2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 18:09 


09/01/14
257
ShMaxG
Когда я применяю нормальное приближение, получаю, что $P(\xi=0)=1.2$ при $n=50,\  p=1/500$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
tech
Вообще-то нормальное распределение -- непрерывное, так что вероятность случайной величине принять любое конкретное значение равна 0. Но вам это и не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 18:19 


09/01/14
257
ShMaxG
Тогда вот что меня смущает.
$p(0\le\xi\le50)=F(158)-F(-0.3)=0.62$, $F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int\limits_{0}^{x} e^{-\frac{t^2}{2}}dx$
$-0.3=\frac{k-np}{\sqrt{npq}},\ k=0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Откуда $p(0 \le \xi \le 50)$? Почему справа 50? Что такое $\xi$?
tech в сообщении #861713 писал(а):
Оценить вероятность того, что число "успехов" в 50 испытаниях будет не менее 3, использовав нормальное и пуассоновское приближения, а также сравнить результаты.

Запишите строго, что значит "вероятность того, что число "успехов" в 50 испытаниях будет не менее 3".

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:25 


09/01/14
257
ShMaxG
$P(0 \le \xi \le 50)$ - вероятность того, что в цепочке из 50 испытаний будет от 0 до 50 "успехов". Почему она не 1?
$\xi$ – число "успехов" в цепочке из n испытаний.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
В точности она равна единице. Но если мы оцениваем эту вероятность с помощью нормального приближения, то получаем не единицу, потому что нормальная случайная величина может принимать любые значения на действительной оси. В том числе и отрицательные. Но мы пользуемся этим приближением, потому что это очень удобно, так как функция стандартного нормального распределения затабулирована, а для точного расчета вероятностей приходится рассчитывать всякие числа сочетаний, а это сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:33 


09/01/14
257
ShMaxG
А оправдано ли вообще в таком случае (когда сумма вероятностей всех возможных событий получается меньше 1) использование нормального приближения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
А вот это вам и предлагают выяснить! :-) Да еще и с пуассоновским приближением сравнить. Так что решайте свою задачу и выясняйте, оправдано это или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 19:49 


09/01/14
257
ShMaxG
Тут возникает другая проблема: посчитать $F(158)-F(9)$. Любые таблицы скажут, что это $\approx0.5-0.5=0$. Собственно, тут я и подумал, вдруг получится получить больше знаков после запятой, если посчитать вероятность противоположного события и вычесть эту вероятность из $1$. Так обнаружилось, что сумма вероятностей всех событий получается меньше $1$, если использовать нормальное приближение.
Пуассоновское приближение говорит $1.5\cdot10^{-4}$, что совпадает с результатом без использования приближений.
Так что я не знаю, что делать с нормальным приближением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 20:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Нет, все нормально. Плотность $\xi$ (в нормальном приближении) уже после единицы становится очень малой (еще бы, с такой-то дисперсией). Так что мы получаем, что нормальное приближение в данной задаче совершенно неадекватно реальности. Так что на будущее запомните, что и такое бывает...

tech в сообщении #861897 писал(а):
Собственно, тут я и подумал, вдруг получится получить больше знаков после запятой, если посчитать вероятность противоположного события и вычесть эту вероятность из $1$.

А это добавит ложку дегтя к адекватности нормального приближения в данном случае, так как вероятность того, что $\xi$ будет от 0 до 3 равно $0.62$. Это из-за того, что в нормальном приближении $\xi$ принимает отрицательные значения с вероятностью $0.37$.

Но это касается лишь данной задачи. При увеличении $n$ к бесконечности, "однажды", нормальная модель оправдает себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 20:34 


09/01/14
257
ShMaxG в сообщении #861905 писал(а):
Плотность $\xi$ (в нормальном приближении) уже после единицы становится очень малой (еще бы, с такой-то дисперсией). Так что мы получаем, что нормальное приближение в данной задаче совершенно неадекватно реальности.

Вот этого я немного не понял. И что из этого следует? Как вы из этого делаете вывод о неадекватности нормального приближения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 20:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2736
Физтех
Вероятность того, что $\xi$ больше 3, согласно нормальному приближению, равна 0 (с очень большой точностью, так как вероятность, что она меньше 2 равна 0.999999999096922, посчитал в Матлабе). А точное значение -- порядка $10^{-4}$. К тому же, большая (37%) концентрация в области отрицательных значений. Все это говорит о неадекватности нормальной модели.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормальное распределение. Оценки наибольшего правдоподобия.
Сообщение11.05.2014, 20:52 


09/01/14
257
ShMaxG
А, всё, понял, вы сравнили со значением, посчитанным без приближений.
Большое спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group