Алгебра. Гомоморфизм.

[julyk]

Здравствуйте! Мне нужна помощь в решении задачи.
Доказать, что для любого $r\in Q,$ существует гомоморфизм $f$ из аддитивной группы целых чисел в аддитивную группу рациональных чисел, при котором $f(1) = r.$
У меня такое решение (решив, я нашла задачу на этом форуме и обрадовалась, что все ок):
Пусть $f(1) = r.$ По свойству гомоморфного отображения $f(z) = rz.$

$$f(\frac{m}{n})=\frac{rm}{n}, rm\in Z$$

$$f(x + y) = r(x + y) = rx + ry = f(x) + f(y).$$

В ответ я получила такой комментарий преподавателя: это доказательство утверждения "Пусть $f$ - гомоморфизм, $f(1)=r$, доказать, что $f(z) = rz$.

Почему это не решение задачи, и что я должна рассмотреть, чтобы решить верно?
Большое спасибо.

[Brukvalub]

Возможная придирка: требовалось отображать целые числа, а вы стали отображать ВСЕ рациональные.

[julyk]

То есть, нужно написать $f(m) = \frac{r m}{n}$?

[nnosipov]

julyk в сообщении #861627 писал(а):

То есть, нужно написать $f(m) = \frac{r m}{n}$?

А что такое здесь $n$?

[julyk]

$n - $ натуральное. Я же отображаю целые в рациональные. Поэтому слева стоит целое число, а справа - рациональное. Числитель рационального числа - целое, знаменатель - натуральное.

[nnosipov]

julyk в сообщении #861662 писал(а):

$n - $ натуральное.

Какое именно натуральное? Натуральных чисел бесконечно много.

-- Вс май 11, 2014 16:53:36 --

julyk в сообщении #861662 писал(а):

Я же отображаю целые в рациональные.

Да, но как именно? Формула $f(m)=\frac{rm}{n}$ не задаёт какого-то конкретного способа отображения, поскольку параметр $n$ не конкретизирован.

[julyk]

Я немного не понимаю. Мне кажется, вы предлагаете отображать в такие рациональные, что $\frac{m}{n},$ где $m-$ целое, $n -$ натуральное их НОД $=$ 1. А почему я не могу отобразить и в целые тоже? Ведь целые являются подмножеством рациональных.

[Otta]

julyk
Что такое

julyk в сообщении #860813 писал(а):

гомоморфизм $f$ из аддитивной группы целых чисел в аддитивную группу рациональных чисел

?

[nnosipov]

julyk в сообщении #861671 писал(а):

Я немного не понимаю.

Боюсь, Вы толком не понимаете, что такое отображение (из одного множества в другое множество) и что значит задать отображение.

[julyk]

Гомоморфизм - отображение, в данном случае групп, которое переводит одну групповую операцию в другую. В данном случае $f\left(a+b\right) = f\left(a\right) + f\left(b\right).$. А вот что значит его задать, я, действительно, не понимаю.

Еще вот нашла: Задать гомоморфизм, все равно что задать образ образующего элемента. У меня образующий - 1. То есть надо задать образ 1. Предположу, что можно сделать как-то так: $f\left(1\right) = f\left(\frac{rm}{n}\right)$, $rm-$ целое, $n-$ натуральное.

[nnosipov]

julyk в сообщении #861691 писал(а):

Предположу, что можно сделать как-то так: $f\left(1\right) = f\left(\frac{rm}{n}\right)$, $rm-$ целое, $n-$ натуральное.

Опять бессмыслица какая-то. Напишите всё-таки, что такое отображение из одного множества в другое. Что нужно сделать, чтобы его (отображение) задать? Приведите какие-нибудь примеры отображений.

Слово "гомоморфизм" Вам пока рано понимать.

[provincialka]

julyk в сообщении #860813 писал(а):

В ответ я получила такой комментарий преподавателя: это доказательство утверждения "Пусть $f$ - гомоморфизм, $f(1)=r$, доказать, что $f(z) = rz$.

Почему это не решение задачи, и что я должна рассмотреть, чтобы решить верно?

Может, имелось в виду следующее. Ваше решение предполагает, что гомоморфизм существует, и в этом предположении выводится его формула. Но ведь существование надо как раз доказать.
Вот берите вашу формулу и доказывайте, что это гомоморфизм

[ewert]

provincialka в сообщении #861735 писал(а):

Вот берите вашу формулу и доказывайте, что это гомоморфизм

Так в последней строчке именно это и доказывалось. А замечание если к чему и можно отнести, то к первой. Правда, промежуточная строчка совсем никуда не годится; но к ней именно такое замечание относиться никак не могло. В общем, ничего не понятно.

[Otta]

provincialka в сообщении #861735 писал(а):

Может, имелось в виду следующее. Ваше решение предполагает, что

Я подозреваю, что на самом деле преподаватель не успел прочитать решение. Иначе комментарий был бы не таким.

julyk, слушайте nnosipov. Он Вам правду говорит.

[ewert]

Otta в сообщении #861739 писал(а):

Я подозреваю, что на самом деле преподаватель не успел прочитать решение.

Не не успел, а не смог. В том виде, как оно изложено там наверху, его прочитать действительно очень трудно.