Разложение функции в нуле

[Otta]

:) хотя бы потому, что ее нельзя доопределить по непрерывности в нуле.
По другим степеням - разложится, но не по степеням $x$.

Вот Вы ТФКП выучите и будете понимать в совершенстве, почему.

[Limit79]

Otta
То есть, если $f(x)$ не определена в точке $x=a$, то $f(x)$ раскладывается по степеням $x-a$ только в том случае, если $x=a$ - точка устранимого разрыва для $f(x)$?

[Otta]

Это необходимое условие.

(Если не вылезать за рамки нынешнего Вашего курса и под разложением по степеням понимать обычные степенные ряды.)

[Limit79]

Понятно, спасибо.

[Nemiroff]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #861364 писал(а):

Если точка не входит в область определения, то разложить в ряд Тейлора функцию в этой точке нельзя. А вот в степенной - в проколотой окрестности точки - часто можно. Пример $\sin x/x$ в окрестности нуля.

Какое занудство.

[Keter]

Думаю, что в некоторых случаях работает интегрирование и дифференцирование. Пусть $f(x)=\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x(2-x)}}.$ Получим её разложение в точке $x=0.$ Сначала, найдём интеграл $f(x):$

$$\int f(x)\, dx=\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2.$$

Далее, разлагаем $\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2$ в точке $x=0:$

$$\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2=x+\frac{x^2}{6}+\frac{2x^3}{45}+\frac{x^4}{70}+...$$

Теперь дифференцируем и получаем

$$f(x)=1+\frac{x}{3}+\frac{2x^2}{15}+\frac{2x^3}{35}+...$$

[Otta]

Keter в сообщении #861418 писал(а):

Пусть $f(x)=\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x(2-x)}}.$ Получим её разложение в точке $x=0.$

Какое отношение это разложение будет иметь к требуемому?

Keter в сообщении #861418 писал(а):

разлагаем $\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2$ в точке $x=0:$

Как разлагаем?

Был же хороший совет - продифференцируйте числитель и разложите в ряд производную.

Nemiroff

(Оффтоп)

Вы мне все равно нравитесь.

[Keter]

Otta в сообщении #861422 писал(а):

Какое отношение это разложение будет иметь к требуемому?

Что у Вас "требуемоё"? В данном случае это разложение по степеням $f(x)$ в нуле.

Otta в сообщении #861422 писал(а):

Как разлагаем?

В ряд разлагаем, но это тоже плохо((

Otta в сообщении #861422 писал(а):

Был же хороший совет - продифференцируйте всю заданную функцию и разложите в ряд производную.

$f'(x)=\dfrac{\sqrt{x(2-x)}+(x-1)\arccos(1-x)}{(\sqrt{x(2-x)})^3}.$ Посмотрев на это, мне кажется, что в данном случае легче разлагать интеграл, а потом брать производную. Наверное, я не прав. Так хуже.

[Otta]

Keter в сообщении #861418 писал(а):

Пусть $f(x)=\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x(2-x)}}.$

Так она у Вас такая или такая:

Keter в сообщении #861204 писал(а):

Пусть дана функция $f(x)=\dfrac{\arccos(1-x)}{\sqrt{x}}.$

?

Keter в сообщении #861429 писал(а):

В ряд Маклорена.

Это понятно. Как именно. Разложение $\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2$ в точке $x=0$ к числу стандартных не относится. Откуда оно у Вас взялось?

Keter в сообщении #861429 писал(а):

Посмотрев на это, мне кажется, что в данном случае легче разлагать интеграл, а потом брать производную. Может я и не прав.

Я исправилась, извините. Конечно, дифференцировать надо числитель (как Вам и советовали). Можете сделать предварительно замену $t=\sqrt x$, тогда обосновывать свои действия будет легче.

[Keter]

Otta, я взял первую, потому что там коэффициенты по-легче.

Да, я понял ошибку, $\frac{1}{2}\arccos(1-x)^2$ не стандартное разложение.

Просто я вот не могу понять. Дифференцируя числитель, получим $\Big( \arccos(1-x) \Big)'=\dfrac{1}{\sqrt{x(2-x)}}.$ И что дальше?

[Otta]

$\sqrt x$ вперед выносите, остальное раскладывайте. Это стандартное разложение. Вернее, сводится к стандартному.

[Keter]

Получилось $\dfrac{1}{\sqrt{2x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{4\sqrt2}+\dfrac{3(\sqrt{x})^3}{32\sqrt2}+...$

И что с этим теперь делать?

[Otta]

Keter в сообщении #861440 писал(а):

Получилось $\dfrac{1}{\sqrt{2x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{4\sqrt2}+\dfrac{3(\sqrt{x})^3}{32\sqrt2}+...$

Чего-то тут не хватает.

Keter в сообщении #861440 писал(а):

Получилось $\dfrac{1}{\sqrt{2x}}+\dfrac{\sqrt{x}}{4\sqrt2}+\dfrac{3(\sqrt{x})^3}{32\sqrt2}+...$
Дальше нужно интегрировать и делить на $\sqrt{x(2-x)}$ ?

А это для чего ряд?... ага. А она откуда взялась?... ага. А значит, что теперь нужно делать?... вот так и рассуждаете. Очень занудно, да.

[Алексей К.]

(Оффтоп)

Надо же, какую дискуссию мы с покойным Гюйгенсом спровоцировали!

И мне вот оффтопно подумалось, --- будь это форум лингвистов, и обсуждали бы они не то разложение в ряд, а эту фразу ---

Keter в сообщении #861429 писал(а):

Посмотрев на это, мне кажется, что ...

И мне кажется --- честно, --- что темы были бы очень близки! В первую очередь --- по степени занудства!
Ну, там такая мелочь, что вот точечка, или иксик не попал в ОДЗу, но ведь он же практически там!
А тут такая мелочь, что подлежаще безлично; но ведь физически --- одно и то же лицо: и посмотрело оно, и показалось ему же.

К счастью, я в обеих науках не особо разбираюсь, но обсуждения обеих тем почитал бы (а одну из них читаю) с интересом. Полагаю, лингвисты со своей аксиоматикой на первой же странице закрыли бы соответствующую тему словами "так писать нельзя". Трёх бы страниц бы не было бы.

[Otta]

Алексей К.

(Оффтоп)

Так нельзя.