Разложение функции в нуле

[Otta]

(Оффтоп)

А ведь функция в нуле даже не непрерывна. Ну да, разрыв устранимый. Ну да, мы строим ряд Тейлора для доопределенной по непрерывности функции.

Если б мне сказали предъявить разложение в степенной ряд для исходной функции, я бы даже не задумалась. А здесь у меня возникают терминологические сомненья.

[ewert]

Otta в сообщении #861321 писал(а):

Ну да, мы строим ряд Тейлора для доопределенной по непрерывности функции.

Доопределённой по аналитичности -- это устранимая особая точка.

[Otta]

(Оффтоп)

Спасибо, я еще помню. Аргумент в силе: для исходной функции точка даже не входит в область определения. Вне нее - разложение такое, да. В ней - нет. Рядам Тейлора это несвойственно.

Занудство, конечно, я понимаю. Я хочу для себя уяснить, не придираюсь. Я бы не стала такой ряд называть рядом Тейлора.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #861333 писал(а):

Я бы не стала такой ряд называть рядом Тейлора.

Я бы тоже (я вообще степенные ряды предпочитаю называть степенными, а не Тейлора). Но и запретить никому не в силах.

[Otta]

ewert
Спасибо.

[Limit79]

(Оффтоп)

Кстати, подскажите, пожалуйста, где сказано, что если точка, в которой необходимо разложить функцию в ряд Тейлора, не входит в область определения этой самой функции, то нужно использовать пределы? Посмотрел Кудрявцева, Зорича, у обоих $f(x) = f(x_{0}) + \frac{f'(x_{0})}{1!} (x-x_{0})+...$

[Otta]

Limit79
Нигде не сказано.
Ряд Тейлора - именно тот, что Вы привели выше. Если точка не входит в область определения, то разложить в ряд Тейлора функцию в этой точке нельзя. А вот в степенной - в проколотой окрестности точки - часто можно. Пример $\sin x/x$ в окрестности нуля. Именно об этом я с ewert и разговаривала. О терминологии.

И не нужно использовать пределы, нужно доопределять функцию должным образом и использовать стандартные разложения.

Тот степенной ряд, который получается, автоматически является рядом уже Тейлора)) для функции, доопределенной в нуле по непрерывности (и как оказывается, и по аналитичности тоже).

[Limit79]

Otta

(Оффтоп)

То есть, если нужно разложить функцию $f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$ в нуле, то нужно доопределить $f(x)$ в нуле, как $ f(x) = \left\{\!\begin{aligned} & \frac{\sin(x)}{x}, x \neq 0 \\ & 1, x= 0 \end{aligned}\right.$ ? Хотя, у меня вопрос в большей степени по той части -- почему об этом никто не говорит.

[Otta]

Задача может ставиться по-разному.
Разложить в степенной ряд по степеням $x^k$, например. Тут не нужно никакого доопределения. И Вы так и считаете, не доопределяя, и тем самым, не отдавая себе отчета в том, что коэффициенты при степенях не могут быть производными в нуле исходной функции, просто потому хотя бы, что ноль не входит в область ее определения.

[ewert]

Limit79 в сообщении #861368 писал(а):

нужно доопределить $f(x)$ в нуле, как $ f(x) = \left\{\!\begin{aligned} & \frac{\sin(x)}{x}, x \neq 0 \\ & 1, x= 0 \end{aligned}\right.$ ? Хотя, у меня вопрос в большей степени по той части -- почему об этом никто не говорит.

Не нужно, а можно. И говорят об этом все; но в рамках не вещественного анализа, а комплексного.

[Limit79]

Допустим, нужно разложить $f(x) = \frac{\sin(x)}{x}$ по степеням $x$.

Otta в сообщении #861373 писал(а):

И Вы так и считаете, не доопределяя

$f(0) - ?$

-- 10.05.2014, 17:10 --

ewert в сообщении #861374 писал(а):

но в рамках не вещественного анализа, а комплексного.

Задача же из курса вещественного анализа (как быть, если комплексный анализ еще не был изучен?).

[Otta]

Limit79
Вам нужно разложение по степеням или значение в нуле? :)
Вы первое без второго не можете сделать?

[Limit79]

Otta в сообщении #861377 писал(а):

Вам нужно разложение по степеням или значение в нуле? :)
Вы первое без второго не можете сделать?

А, понял, спасибо

А как быть, если нужно разложить $f(x)=\ln(x)$ по степеням $x$?

[Otta]

Никак. Не раскладывается.

[Limit79]

Otta
Почему?