Перестаю верить в доказательства через противоречия

[lyuk]

Почитайте историю о теореме Штейнера-Лемуса в "Новых встречах с геометрией" Коксетера и Грейтцера

[arseniiv]

Guliashik, действительно, как предлагает Munin, проверьте ваш взгляд на старые теоремы. Если и там повторится — видимо, придётся аккуратно погружаться в логику (математическую, разумеется): для правильности вывода в классической логике или любой другой теории не обязательно соответствие интуиции или убедительность (относительная вещь). Если не повторится — дело может быть в дырах в недавно разобранных вещах, отчего как раз убедительность будет «не в ту сторону». Например, по стечению обстоятельств вы могли упустить какую-то часть определения, которая не влияет на справедливость теорем вначале, но отражается на остальных, и соответствующее понимание будет вызывать на этих теоремах неприятные несоответствия ожиданий и того, что написано в книге. Перепроверьте, так ли вы понимаете недавние определения, как они написаны.

[Red_Herring]

Соломон, выслушав истца, сказал "Ты прав".
Соломон, выслушав ответчика, сказал "Ты прав".
Кто-то из присутствующих заметил: "Но не могут они быть оба правыми!"
Соломон на это сказал "И ты прав".

Очевидно на Соломона док-во от противного бы не произвело впечатления

[epros]

Guliashik в сообщении #861097 писал(а):

...я задумался над природой противоречий и вовремя не остановился, и процесс стал просто лавинообразным. И, как говорится, понеслось... Понимаете, пропало самое драгоценное, что у меня было в математике.. Пропало, то чувство истинности, которое появляется после доказательства через противоречия.

А по-моему это здорово. Могу сравнить с тем, как к окончанию института у меня пропало школьное ощущение того, что «я знаю почти всё». Пропадание «чувства истинности» у математика, как мне кажется, тоже должно здорово стимулировать процесс самосовершенствования.

А вопрос о природе противоречия действительно очень интересный, в конструктивной логике он по косточкам разбирается. Подход, предложенный, если не ошибаюсь, Гейтингом, заключается в том, что в логику добавляется некое базовое понятие «абсурда» (обозначается $\perp$), представляющее собой высказывание, кое ни при каких обстоятельствах и ни в каком контексте не может считаться истинным. В арифметике, например, за абсурд может считаться $0=1$. Через это понятие определяется (уже не базовое) понятие отрицания, вот такой аксиомой: $(p \to \perp) \to \neg p$. Т.е. если из высказывания $p$ выводится абсурд, то сие высказывание ложно.

Любопытно, что были предложены варианты логики вообще без понятия абсурда и без, соответственно, отрицания (если не ошибаюсь, то Гриссом). Про всё это можно почитать в книжке А. Маркова «Интуиционизм».