Линейная зависимость или независимость системы

[StahisT]

nnosipov в сообщении #860796 писал(а):

StahisT в сообщении #860622 писал(а):

Я составил определитель Вандермонда: ... И вот не знаю, что делать дальше.

Ваша проблема в том, что Вы не понимаете, зачем нужно составлять этот самый определитель Вандермонда. Вот и составляете его абы как. И получается в результате бессмыслица.

Начните с того, что запишите условие линейной зависимости применительно к данной системе функций.

StahisT в сообщении #860705 писал(а):

Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$

Это как раз неважно.

Условие зависимости: $a_1 + a_2\cos x + a_3\cos^2 x + ... + a_k\cos^k x = 0$
где хотя бы один из a_1...a_k отличен от нуля.

Что можно сделать дальше? и может реально как-то без определителя Вандермонда можно проще проверить?

[ewert]

StahisT в сообщении #860906 писал(а):

Что можно сделать дальше?

Замену.

[StahisT]

ewert в сообщении #860907 писал(а):

StahisT в сообщении #860906 писал(а):

Что можно сделать дальше?

Замену.

t=\cos x

a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_{k+1}t^k = 0

Что дальше с этим делать?

[ewert]

StahisT в сообщении #860965 писал(а):

Что дальше с этим делать?

Убрать лишний слэш.

[StahisT]

ewert в сообщении #860968 писал(а):

StahisT в сообщении #860965 писал(а):

Что дальше с этим делать?

Убрать лишний слэш.

Сделал

[nnosipov]

StahisT в сообщении #860965 писал(а):

$a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_kt^k = 0$

Подправьте и здесь: слагаемых в левой части $k+1$, а коэффициентов почему-то $k$.

[StahisT]

nnosipov в сообщении #860976 писал(а):

StahisT в сообщении #860965 писал(а):

$a_1 + a_2t + a_3t^2 + ... + a_kt^k = 0$

Подправьте и здесь: слагаемых в левой части $k+1$, а коэффициентов почему-то $k$.

Да точно, как начинающему программисту мне за это стыдно

Что с этим делать?

[nnosipov]

Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?

[StahisT]

nnosipov в сообщении #860989 писал(а):

Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?

Мне кажется, что не будет. Крайние точки рассмотреть надо или как?

-- 09.05.2014, 19:57 --

nnosipov в сообщении #860989 писал(а):

Ну, давайте порассуждаем. Поскольку $x \in \mathbb{R}$, то $t=\cos{x} \in [-1,1]$. Значит, если те косинусы линейно зависимы, то найдутся такие коэффициенты $a_0,a_1,\dots,a_k$, не все равные нулю, для которых равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ будет иметь место при любом $t \in [-1,1]$. А бывает ли такое?

просто если t взять единичку, то тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?

[nnosipov]

StahisT в сообщении #861003 писал(а):

тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?

Нет, конечно. Если сумма нескольких чисел равна нулю, то с какой стати все эти числа должны быть нулями?

Одним значением $t$ здесь не обойтись. Важно, что равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ выполняется при бесконечно многих значениях $t$.

[StahisT]

nnosipov в сообщении #861022 писал(а):

StahisT в сообщении #861003 писал(а):

тогда будет просто сумма коэффициентов. и она 0 только при всех нулевых. я не прав?

Нет, конечно. Если сумма нескольких чисел равна нулю, то с какой стати все эти числа должны быть нулями?

Одним значением $t$ здесь не обойтись. Важно, что равенство $a_0+a_1t+\ldots+a_kt^k=0$ выполняется при бесконечно многих значениях $t$.

Дошло, спасибо