Линейная зависимость или независимость системы

[StahisT]

Добрый вечер.
Помогите разобраться.

Является ли система ЛНС или ЛЗС?

{1, \cos x , \cos^2 x , \cos^3 x, ...\cos^k x}

Я составил определитель Вандермонда:

\begin{vmatrix} 1 & \cos x & \cos^2x & \cos^3x & . & . & . & \cos^{n-1}x \\ 1 & \cos^2x & \cos^4x & \cos^8x & . & . & . & \((cos^2x)^{n-1} \\ 1 & \cos^3x & \cos^6x & \cos^9x & . & . & . & \((cos^3x)^{n-1} \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ . & . & . & . & . & . & . & . \\ 1 & \cos^nx & \((cos^nx)^2 & \((cos^nx)^3 & . & . & . & \((cos^nx)^{n-1} \end{vmatrix}

И вот не знаю, что делать дальше. Можно расписать как произведение разностей по определению. Но что это даст хорошего, не знаю..

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите собственные попытки решения задачи и укажите затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не указана.

[StahisT]

Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$

[nnosipov]

StahisT в сообщении #860622 писал(а):

Я составил определитель Вандермонда: ... И вот не знаю, что делать дальше.

Ваша проблема в том, что Вы не понимаете, зачем нужно составлять этот самый определитель Вандермонда. Вот и составляете его абы как. И получается в результате бессмыслица.

Начните с того, что запишите условие линейной зависимости применительно к данной системе функций.

StahisT в сообщении #860705 писал(а):

Забыл добавить, над полем $\mathbb{R}$

Это как раз неважно.

[ewert]

StahisT в сообщении #860622 писал(а):

Я составил определитель Вандермонда:

А зачем?... при чём тут вообще Вандермонд?...

Сделайте просто замену переменной $t=\cos x$ и исследуйте на линейную независимость получившиеся функции $f_k(t)$.

[nnosipov]

ewert в сообщении #860812 писал(а):

при чём тут вообще Вандермонд?

А чем он здесь плох? Вполне естествен до теории многочленов.

[ewert]

nnosipov в сообщении #860814 писал(а):

Вполне естествен до теории многочленов.

"До" -- это в смысле "для"? Тогда естественен, но вот только именно для них и скорее в обратную сторону: не столько многочлены независимы из-за Вандермонда, сколько Вандермонд не равен нулю из-за их независимости (точнее, чебышёвости).

[nnosipov]

ewert в сообщении #860859 писал(а):

... сколько Вандермонд не равен нулю из-за их независимости (точнее, чебышёвости).

По-моему, Вандермонд (от попарно разных элементов) отличен от нуля из-за того, что в поле нет делителей нуля. А независимость одночленов проистекает из бесконечности поля, над которым их рассматривают (так и рассказывают обычно в теории многочленов). Поэтому всё-таки "до".

[ewert]

nnosipov в сообщении #860862 писал(а):

А независимость одночленов проистекает из бесконечности поля, над которым их рассматривают (так и рассказывают обычно в теории многочленов).

Какие конечные поля, если косинусы?...

[nnosipov]

ewert, ну Вы же сами сказали выше, что косинусов там нет, и это чистая правда Кстати, в конечных полях есть логарифмы и, боюсь, косинусы тоже сыщутся.

[ewert]

nnosipov в сообщении #860865 писал(а):

Вы же сами сказали выше, что косинусов там нет, и это чистая правда

Это после пересчёта их нет. Но задача-то ставилась до, откуда и конечностью полей всё автоматически.

[nnosipov]

Что-то я потерял нить беседы. ТС захотел Вандермонда. Ничего предосудительного в этом я не вижу, по крайней мере до момента посвящения в тайну понятия "многочлен".

[ewert]

nnosipov в сообщении #860878 писал(а):

ТС захотел Вандермонда. Ничего предосудительного в этом я не вижу

Предосудительного ничего, но и никакой связи с исходной задачей тоже нет. Вандермонд имеет отношение к линейной независимости только многочленов; исходно же речь шла отнюдь не о многочленах, во всяком случае формально.

[nnosipov]

А, вот в чём дело. Ну да, несколько натянуто. Я, кстати, увидев косинусы, рефлекторно потянулся за словом "ортогональность".