УМФ.найти инфимум

[Mega31]

Добрый день.
Помогите пожалуйста с решением:
$\inf_{M}({\int_{\Omega}(|\bigtriangledown u|^2 + 2u)dx +\int_{|x|=1}u^2dS })$
где $\Omega =[1<|x|<2,x=(x_1,x_2,x_3)]$
$M=[v\in H^1(\Omega):v=0,|x|=2]$
С чего начать?

[Brukvalub]

Я бы начал с чтения параграфа 19: "Вариационные методы" в задачнике Владимирова и Ко.

[Oleg Zubelevich]

продифференцировать функционал $F(u)=\int_{\Omega}(|\bigtriangledown u|^2 + 2u)dx +\int_{|x|=1}u^2dS $
написать $\frac{d}{dt}\mid_{t=0}F(u+th)=0,\quad h\mid_{|x|=2}=0$
как я понимаю должна получиться краевая задача вида $u\mid_{|x|=2}=0,\quad (\frac{\partial u}{\partial n}+2u)\mid_{|x|=1}=0$

[Mega31]

Brukvalub
Прочитал,но как решать все еще не разобрался.Есть такая же задача для 2ух переменных,но указаний к решению нет

[Brukvalub]

Выходит, злой препод задал вам задачу, ничего предварительно не объяснив?

[Mega31]

Brukvalub
Ну этот преподаватель не в курсе нашей программы,сказал что вроде как знаний должно хватить

[Brukvalub]

Как я понял, дело с мертвой точки не сдвинулось. Тогда берем книгу Михайлова "Диф. уравнения в частных производных" и читаем гл. 4, $1 п. 9. Также полезно порыться в книге Михлина "Вариационные методы в математической физике". Если и это не поможет, то положение гиблое...

[Mega31]

Brukvalub
Наверное гиблое.
Прочитал очень много умных слов,но как применять их на практике там особо не сказано.

[ewert]

Хм. Ну да, задачка из серии: если соотв. теорию знать, то решается по шаблону, а если не знать -- то лучше бы её и не ставить.

Вот, допустим, в функционале никакого поверхностного интеграла нет, но зато на внутренней поверхности поставлено такое же условие Дирихле, как и на внешней. Тогда "всем известно", что минимум достигается на решении уравнения Пуассона $\Delta u\equiv1$ с граничными условиями Дирихле; ну как-то там через бесселя это решение выражается. Если по-прежнему нет поверхностного интеграла, но нет (как в задаче) и никакого граничного условия на внутренней сфере, то возникает тот же Пуассон, но уже с условием Неймана на внутренней сфере.

А если добавить поверхностный интеграл? -- а тогда условие Неймана превращается в некоторое условие третьего типа. Формальное варьирование функционала даёт:

$$\delta\Phi[u]=2\int\limits_{\Omega}\vec\nabla u\cdot\vec\nabla\delta u\,dx +2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS=$$

$$=-2\int\limits_{\Omega}\Delta u\,\delta u\,dx +2\int\limits_{|x|=1}\delta u\,\vec\nabla u\cdot\overrightarrow{dS}+2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS$$

$$=-2\int\limits_{\Omega}\Delta u\,\delta u\,dx +2\int\limits_{|x|=1}\delta u\,\frac{\partial u}{\partial\vec n}\,dS+2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS.$$

В силу произвольности $\delta u$ всё должно сокращаться, а ввиду известной независимости её значений внутри области и на границе сокращаться должны объёмные интегралы отдельно и поверхностные отдельно. Первое даёт уравнение Пуассона, второе же -- граничное условие $\frac{\partial u}{\partial\vec n}+u=0$ на внутренней поверхности (нормаль -- внешняя по отношению к области, т.е. внутренняя по отношению к самой сфере).

[Mega31]

ewert
Спасибо за объяснение.
Вопрос по обозначениям,$\delta$ это тот же оператор Лапласа?

[Brukvalub]

Mega31 в сообщении #860164 писал(а):

...
Вопрос по обозначениям,$\delta$ это тот же оператор Лапласа?

Смешно! Это знак вариации функционала.