Хм. Ну да, задачка из серии: если соотв. теорию знать, то решается по шаблону, а если не знать -- то лучше бы её и не ставить.
Вот, допустим, в функционале никакого поверхностного интеграла нет, но зато на внутренней поверхности поставлено такое же условие Дирихле, как и на внешней. Тогда "всем известно", что минимум достигается на решении уравнения Пуассона

с граничными условиями Дирихле; ну как-то там через бесселя это решение выражается. Если по-прежнему нет поверхностного интеграла, но нет (как в задаче) и никакого граничного условия на внутренней сфере, то возникает тот же Пуассон, но уже с условием Неймана на внутренней сфере.
А если добавить поверхностный интеграл? -- а тогда условие Неймана превращается в некоторое условие третьего типа. Формальное варьирование функционала даёт:
![$$\delta\Phi[u]=2\int\limits_{\Omega}\vec\nabla u\cdot\vec\nabla\delta u\,dx +2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS=$$ $$\delta\Phi[u]=2\int\limits_{\Omega}\vec\nabla u\cdot\vec\nabla\delta u\,dx +2\int\limits_{\Omega}\delta u\,dx+2\int\limits_{|x|=1}u\,\delta u\,dS=$$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8d64b402dbf42e7836cd9f9aee6412482.png)


В силу произвольности

всё должно сокращаться, а ввиду известной независимости её значений внутри области и на границе сокращаться должны объёмные интегралы отдельно и поверхностные отдельно. Первое даёт уравнение Пуассона, второе же -- граничное условие

на внутренней поверхности (нормаль -- внешняя по отношению к области, т.е. внутренняя по отношению к самой сфере).