Найти спектральную функцию сигнала

[Derik117]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!
Моя задача состоит в том, что необходимо найти спектральную функцию данного сигнала.

(Оффтоп)

Как объяснил преподаватель, что для нахождения спектральной функции любого сигнала, для начала, нужно продифференцировать сигнал. Вот такой пример он нам дал:

(Оффтоп)

Разрыв первого рода нужно заменить на дельта-функцию, расположенную в точке разрыва и умноженную на величину разрыва, а горизонтальный участок - заменить на единичную функцию на данном промежутке.
А вот дальше идут совсем непонятные вещи.
Почему мы заменяем дельта функцию на $U\cdot\exp[j\cdot \omega\cdot \frac {tu}{2}]$, а единичную функцию на $(\frac {-U}{tu})\cdot tu\cdot sinc(x)$, где $x=\frac {\omega\cdot tu}{2}$?
Несколько похожих задач(где изначально задана функция и ее производная) я решил, но без особого понимания, просто на основе этой задачи.
А как поступать когда задана только сама функция? Причем в данном примере есть наклонный участок $t \in [\frac {-tu}{2};\frac {tu}{2}]$ , а в моей задаче это просто горизонтальный участок, как быть?
Может кто объяснить, почему на графике производной у нас идет $\frac {-U}{tu}$?

[profrotter]

Derik117 в сообщении #859804 писал(а):

Как объяснил преподаватель, что для нахождения спектральной функции любого сигнала, для начала, нужно продифференцировать сигнал

Полагаю преподаватель имел ввиду, что в некоторых случаях после дифференцирования задача нахождения его спектральной плотности упрощается. А для того, чтобы найти спектральную функцию сигнала нужно выполнить преобразование Фурье. Выполнение преобразования Фурье может быть упрощено путём сведения задачи к ранее решённой с использованием теорем спектрального анализа.
Теоремы, которые вам следует повторить в учебнике прежде чем решать вашу задачу:
1. Дифференцирование сигнала
2. Опережение/запаздывание сигнала
Также потребуется материал про дельта-функцию и про функцию Хевисайда.

-- Вт май 06, 2014 15:19:38 --

Derik117 в сообщении #859804 писал(а):

почему на графике производной у нас идет $\frac {-U}{tu}$

На рассматриваемом интервале несимметричный треугольный импульс линейно убывает. Поэтому его производная отрицательна и постоянна и равна тангенсу угла наклона прямого участка графика функции к оси абсцисс, который в свою очередь равен $\frac{-U}{tu}$.

[Derik117]

profrotter
Правильно ли я понял, что для моей задачи, на участке $t \in [-\frac{3tu}{2};-\frac {tu}{2}]$ спектральная функция будет иметь вид:
$U(\exp[-j\cdot \omega\cdot \frac {3tu}{2}]-\frac {1}{tu}\cdot tu\cdot sinc(\frac {\omega\cdot tu}{2})+\exp[-j\cdot \omega\cdot \frac {tu}{2}])$
Правда, я не уверен на счет второго слагаемого. Не могу понять, как связан $sinc(x)$ и временной интервал участка.
Порыскал в гугле, нашел данную статью http://ru.math.wikia.com/wiki/Функция_sinc(x), но ничего похожего в задаче, к сожалению, найти не могу.
Извиняюсь за некликабельную ссылку, не получается ее нормально вставить.

[profrotter]

Derik117 в сообщении #860127 писал(а):

Правильно ли я понял

Ничего не могу сказать, поскольку ничего не понял. Спектральную функцию не следует рассматривать "для интервала такого-то" - при её определении следует рассматривать весь временной интервал.

Очень хорошо, что Вы обратили внимание на предыдущие рекомендации и ознакомились с соответствующим материалом в учебниках, понимая, что в деле получения знаний всякий гугл нам категорически не товарищ.

Рекомендую теперь начать с представления заданного вам сигнала в виде совокупности единичных скачков (функций Хевисайда). Потом мы его продифференцируем и, учитывая связь между функцией Хевисайда и дельта-функцией станет понятно откуда берутся дельта-функции на графике производной. Потом найдём спектр дельта-функции, потом с учётом теорем линейности и временного запаздывания для преобразоания Фурье найдём спектральную функцию производной сигнала, потом с учётом теоремы дифференцирования спектральную функцию заданного сигнала.

В общем и целом решение задачи вот так вот просто угадать не получится.
Кстати, нашёл некоторые полезные материалы:
http://circuits-signals.narod.ru/mukrrtc2013.pdf
http://circuits-signals.narod.ru/primeri.pdf

[Derik117]

Цитата:

Ничего не могу сказать, поскольку ничего не понял. Спектральную функцию не следует рассматривать "для интервала такого-то" - при её определении следует рассматривать весь временной интервал.

Но ведь по определению(которое мне дал преподаватель), спектральную функцию сигнала можно представить как сумму спектральных функций его составляющих. Это верно?

Огромное спасибо за ссылки! Обязательно изучу!

[profrotter]

Derik117 в сообщении #860184 писал(а):

спектральную функцию сигнала можно представить как сумму спектральных функций его составляющих

Это верно. Это называется теоремой линейности для преобразования Фурье. Однако следует определиться: то ли вам требуется выполнить задание с использованием теоремы дифференцирования, то ли Вы сами вольны выбирать метод. Во втором случае проще заданный вам сигнал представить в виде совокупности двух симметричных прямоугольных импульсов различной длительности. Спектральная же функция симметричного прямоугольного импульса длительностью $\tau_u$ и размахом $V_0$ даётся известным (в любом учебнике можно найти вывод или легко его проделать самостоятельно) выражением $S(\omega)=V_0\tau_u sinc\left(\frac{\omega \tau_u}{2}\right)$

[Derik117]

profrotter
В условии задачи не сказано ничего про метод выполнения.
А про дифференцирование - я просто продублировал ту информацию, которую нам дал преподаватель.

Большое Вам спасибо за ответы! Я завтра постараюсь разобраться со всем этим и напишу сюда!

[Derik117]

profrotter
Изучил материалы, которые Вы мне дали. Спасибо!
В общем, насколько я понял, для получения спектральной функции сигнала, сначала нам нужно получить формулу сигнала. В моем случае это будет сумма трех прямоугольных импульсов:
$u(t)=Urect(\frac{t+tu}{tu})-2Urect(\frac{t}{tu})+Urect(\frac{t-tu}{tu})$
Тогда спектральная функция нашего сигнала будет суммой спектральных функций каждого импульса.
$s_1(\omega)=U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})\cdot e^{j\omega tu}$
Здесь $tu$, которая находится в степени числа $e$ - это центр нашего импульса.
$s_2(\omega)=-2U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})$
В этом импульсе отсутствует $e$, потому что центр импульса приходится на $0$.
$s_3(\omega)=U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})\cdot e^{-j\omega tu}$
Ну и искомая функция:
$S(\omega)=s_1(\omega)+s_2(\omega)+s_3(\omega)=U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})\cdot e^{j\omega tu}-2U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})+U\cdot tu\cdot sinc(\frac{\omega tu}{2})\cdot e^{-j\omega tu}$

Верно это решение или нет, смогу узнать только в следующую пятницу.

[profrotter]

Это правильный подход. Полученное выражение можно немного упростить:

$$S(\omega)=Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)e^{j\omega t_u}-2Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)+Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)e^{-j\omega t_u}=$$

$$=2Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)\left(\frac{e^{j\omega t_u}+e^{-j\omega t_u}}{2}-1\right)=2Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)\left(\cos(\omega t_u)-1\right)=$$

$$=-4Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)\frac{1-\cos(\omega t_u)}{2}=-4Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)\sin^2\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)$$

Однако есть подход более простой. Ваш сигнал (как я уже писал выше) можно представить в виде совокупности двух прямоугольных импульсов (это представление рекомендую проверить графически):

$$u(t)=Urect\left(\frac{t}{3t_u}\right)-3Urect\left(\frac{t}{t_u}\right).$$

Откуда для спекральной функции в силу свойства линейности преобразования Фурье сразу получаем компактное выражение

$$U(\omega)=3Ut_usinc\left(\frac{\omega 3t_u}{2}\right)-3Ut_usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right).$$

Чтобы убедиться, что получилось то же самое, что и у вас, воспользуемся формулой синуса тройного аргумента и преобразуем

$$sinc\left(\frac{\omega 3t_u}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\omega 3t_u}{2}\right)}{\frac{\omega 3t_u}{2}}=\frac{3\sin\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)}{\frac{\omega 3t_u}{2}}-\frac{4\sin^3\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)}{\frac{\omega 3t_u}{2}}=$$

$$=sinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)-\frac{4}{3}sinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)\sin^2\left(\frac{\omega t_u}{2}\right).$$

Подставив в выражение для спектральной функции получим то же самое.

Обратите внимание на обозначения: обычно временную функцию сигнала обозначают маленькой буквой, а спектральную - той же самой большой буквой.

[Munin]

(Оффтоп)

Названия функций можно писать прямым шрифтом, чтобы отличать от просто произведения переменных: \mathrm{sinc}, \mathrm{rect}.

[Derik117]

profrotter в сообщении #860657 писал(а):

Однако есть подход более простой. Ваш сигнал (как я уже писал выше) можно представить в виде совокупности двух прямоугольных импульсов (это представление рекомендую проверить графически):

$$u(t)=Urect\left(\frac{t}{3t_u}\right)-3Urect\left(\frac{t}{t_u}\right).$$

Проверил графически - и правда все сходится. Гениальный ход, я бы сказал. Сам бы не додумался.
Несколько вопросов возникло.
Как Вы избавляетесь от $e^{j\omega t_u}$ и $e^{-j\omega t_u}$?
Преподавателя удовлетворяет вариант ответа без упрощений, но все равно хочется знать.
$\frac{e^{j\omega t_u}+e^{-j\omega t_u}}{2}=\cos(\omega t_u)$
Это какая-то тригонометрическая формула, правильно я понимаю?
Как быть, если сигнал задан не прямоугольным импульсом, а ,допустим, пилообразным?
Примерно вот так:

(Оффтоп)

Сначала нужно продифференцировать, потом записать как сумму единичной функции и дельта функций, а уже потом найти спектральную функцию?
Просто если действовать по этой схеме, то по информации из моих лекций, дельта-функцию мы заменяем на $e$ в какой-либо степени, а единичную функцию на $sinc(x)$. А потом суммируем полученные выражения и получаем искомую спектральную функцию. Но, ведь если их суммировать, то $sinc(x)$ и $e$ не будут сомножителями, а будут просто суммой.
Или есть способ проще?

Для второй картинки из шапки темы, вот такое решение назвал преподаватель:
У $S$ индекс "пр" и все они комплексные.(Читал только что FAQ по тегу math, не нашел как ставить знак комплексного числа)
$S_{p}(\omega)=S'(\omega)+S''(\omega)$
$S'$ и $S''$ это составные "части" нашего продифференцированного сигнала, т.е. единичная функция и дельта-функция.
$S'(\omega)=Ue^{j\omega\frac{t_u}{2}}$
$S''(\omega)=-Usinc(\frac{\omega t_u}{2})$
$S(\omega)=\frac{1}{j\omega}\cdot S_{p}(\omega)=\frac{U}{j\omega}(e^{j\omega\frac{t_u}{2}}-sinc(\frac{\omega t_u}{2}))$
Не могу никак понять, то ли преподаватель ошибся, то ли я.

[profrotter]

Derik117 в сообщении #860684 писал(а):

$\frac{e^{j\omega t_u}+e^{-j\omega t_u}}{2}=\cos(\omega t_u)$ Это какая-то тригонометрическая формула, правильно я понимаю?

Это формула Эйлера. $\cos(x)=\frac{e^{jx}+e^{-jx}}{2}$, $\sin(x)=\frac{e^{jx}-e^{-jx}}{2j}$.

Derik117 в сообщении #860684 писал(а):

Как быть, если сигнал задан не прямоугольным импульсом, а ,допустим, пилообразным?

Этот сигнал как раз рассматривается по ссылке, которую я уже приводил http://circuits-signals.narod.ru/primeri.pdf в примере 2. Идея проста: если сигнал состоит из линейных участков и участков постоянного уровня, то при дифференцировании получится сигнал состоящий из участков постоянного уровня и дельта-импульсов. Его спектральный анализ как правило проще.

Ещё раз настоятельно рекомендую посмотреть теорему опережения/запаздывания сигнала. Ни на какое "$e$ в степени" дельта-импульс мы не заменяем. Спектральная функция дельта-импульса, соответствующего нулевому моменту времени равна единице. Если дельта имульс соответствует некоторому моменту времени $t_0$, то в соответствии с теоремой опережения/запаздывания в выражении для спектральной функции появляется множитель опережения/запаздывания $e^{\pm j\omega t_0}$, то есть $\delta(t\pm t_0)\leftrightarrow e^{\pm j\omega t_0}$.

-- Пт май 09, 2014 00:02:32 --

Derik117 в сообщении #860684 писал(а):

Не могу никак понять, то ли преподаватель ошибся, то ли я.

Откуда ж понять кто ошибся, когда Вы привели только одно решение? Продифференцировали сигнал, получили $u'(t)=U\delta(t+\frac{t_u}{2})-\frac{U}{t_u}rect\left(\frac{t}{t_u}\right)$. Взяли его пребразование Фурье и с учётом свойств линейности и опережения/запаздывания получили $U'(\omega)=Ue^{j\omega \frac{t_u}{2}}-Usinc\left(\frac{\omega t_u}{2}\right)$. (Первое слагаемое соответствует дельта-импульсу, второе прямоугольному импульсу.) По теореме дифференцирования нашли спектр исходного сигнала $U(\omega)=\frac{U'(\omega)}{j\omega}$.

[Derik117]

profrotter
Извиняюсь за столь долгое отсутствие в теме.
Вот такой вопрос, а как определить, запаздывает сигнал или нет? Если опустить перпендикуляр на половине его длительности и он упадет в ноль, то сигнал не является запаздывающим, так?

[arseniiv]

($\TeX.$)

Munin в сообщении #860678 писал(а):

Названия функций можно писать прямым шрифтом, чтобы отличать от просто произведения переменных: \mathrm{sinc}, \mathrm{rect}.

Лучше ведь \operatorname{sinc}, чтобы были соответствующие пробелы, если скобок нет.

[profrotter]

Derik117 в сообщении #862712 писал(а):

как определить, запаздывает сигнал или нет? Если опустить перпендикуляр на половине его длительности и он упадет в ноль, то сигнал не является запаздывающим, так?

Нет не так. Тут не идёт речи о каком-то абсолютном запаздывании. Рассматривается сигнал $s(t)$ для которого известна спектральная плотность $S(\omega)$ и ещё один сигнал $s_{t_0}(t)=s(t-t_0), t_0>0$. Так вот сигнал $s_{t_0}(t)$ располагается на временной оси на $t_0$ позже относительно $s(t)$ - запаздывает, а его спектральная функция выражается через спектральную функцию исходного $S_{t_0}(\omega)=S(\omega)e^{-j\omega t_0}$.