Добрый вечер.
Решаю задачу:
На сколько отличаются поверхностные интегралов:
![$I_1=\iint\limits_{\Phi_1}{(x^2+y^2+z^2)}dS$ $I_1=\iint\limits_{\Phi_1}{(x^2+y^2+z^2)}dS$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/7/7/2777d0b56ab5c1ee6fb11a447487023782.png)
и
![$I_2=\iint\limits_{\Phi_2}(x^2+y^2+z^2)dS$ $I_2=\iint\limits_{\Phi_2}(x^2+y^2+z^2)dS$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/a/2/2a225766cbc39a6937dd9794f056873482.png)
, где
![$\Phi_1$ $\Phi_1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/f/a4f8dd319f16940eeecd9db96446963d82.png)
- сфера
![$x^2+y^2+z^2=a^2$ $x^2+y^2+z^2=a^2$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/0/e80d6aaafa530965e140174d9db66f6082.png)
,
![$\Phi_2$ $\Phi_2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/9/109322640e1a75575f67828e9f64224982.png)
- поверхность октаэдра,
![$|x|+|y|+|z|=a$ $|x|+|y|+|z|=a$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/6/c76e9199673d3665ddbc1f64e671004482.png)
.
Мои попытки решения:
Вычислим интегралы на участках
![$x,y,z\geqslant 0$ $x,y,z\geqslant 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/0/960ad374478fe18450bcf3369788e53982.png)
и умножим результат на 8 (в силу симметрии).
Вычислим первый. Для этого представим
![$z$ $z$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/9/3/f93ce33e511096ed626b4719d50f17d282.png)
из задания поверхности в виде
![$z(x,y)$ $z(x,y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/3/2/f325aecce16ca7186b22b67a63241d5882.png)
(это возможно в силу теоремы о неявной функции). Поэтому, воспользуемся формулой
![$\iint\limits_{\Phi_1}f(x,y,z)dS=\iint\limits_G{f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy}$ $\iint\limits_{\Phi_1}f(x,y,z)dS=\iint\limits_G{f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/d/bad5551d405dec71bd35dafb83bd382d82.png)
, причем производные найдем из теоремы о неявной функции:
![$z'_x=-(F'_z)^{-1}F'_x,\ z'_y=-(F'_z)^{-1}F'_y$ $z'_x=-(F'_z)^{-1}F'_x,\ z'_y=-(F'_z)^{-1}F'_y$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/8/bc88d8b0e60f74c903b0983cde8a932282.png)
, где
![$F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2$ $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/7/3a78070bf7c88ba663702776189ad40082.png)
.
Таким образом,
![$\iint\limits_{G}(x^2+y^2+z^2)\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}}dxdy$ $\iint\limits_{G}(x^2+y^2+z^2)\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}}dxdy$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/6/2/b62e0038d204de4c619b3bdf5a18eb5882.png)
, где
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
- сектор круга
![$x^2+y^2\geqslant a^2$ $x^2+y^2\geqslant a^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/9/14943824f269942019cf030b8f95742b82.png)
.
Не подскажете, что сделать дальше, как свести подынтегральную функцию к функции двух переменных, ведь
![$z=z(x,y)$ $z=z(x,y)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/d/c/fdc13b7a4b38d1ff71460509974344de82.png)
- функция
![$x,y$ $x,y$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/c/0acac2a2d5d05a8394e21a70a71041b482.png)
. Тогда второй интеграл решится аналогично.
Заранее спасибо.