Поверхностные интегралы

[Terraniux]

Добрый вечер.

Решаю задачу:
На сколько отличаются поверхностные интегралов: $I_1=\iint\limits_{\Phi_1}{(x^2+y^2+z^2)}dS$ и $I_2=\iint\limits_{\Phi_2}(x^2+y^2+z^2)dS$, где $\Phi_1$ - сфера $x^2+y^2+z^2=a^2$, $\Phi_2$ - поверхность октаэдра, $|x|+|y|+|z|=a$.
Мои попытки решения:
Вычислим интегралы на участках $x,y,z\geqslant 0$ и умножим результат на 8 (в силу симметрии).
Вычислим первый. Для этого представим $z$ из задания поверхности в виде $z(x,y)$ (это возможно в силу теоремы о неявной функции). Поэтому, воспользуемся формулой $\iint\limits_{\Phi_1}f(x,y,z)dS=\iint\limits_G{f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy}$, причем производные найдем из теоремы о неявной функции: $z'_x=-(F'_z)^{-1}F'_x,\ z'_y=-(F'_z)^{-1}F'_y$, где $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2$.
Таким образом, $\iint\limits_{G}(x^2+y^2+z^2)\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{z^2}}dxdy$, где $G$ - сектор круга $x^2+y^2\geqslant a^2$.
Не подскажете, что сделать дальше, как свести подынтегральную функцию к функции двух переменных, ведь $z=z(x,y)$ - функция $x,y$. Тогда второй интеграл решится аналогично.
Заранее спасибо.

[Otta]

О боги. За что Вы его так. Он же устный.
Чему равна подынтегральная функция на поверхности сферы?

[Terraniux]

Otta в сообщении #860036 писал(а):

О боги. За что Вы его так. Он же устный.
Чему равна подынтегральная функция на поверхности сферы?

Как всегда, Вы правы. Но я только начал, решаю его так, чтобы понять суть интеграла, и, поэтому расписываю так формально.

На пов. сферы, наверное, $a^2$. Пробовал, кстати, так решать. Вот что получалось:
$I_1=\displaystyle\iint\limits_{G}a^2\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{a-(x^2+y^2)}}dxdy=a^2\displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^{a-x^2}\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{a-(x^2+y^2)}}dy$. Перейдем к полярным координатам:
$(x,y)\mapsto (r,\varphi),\ \dfrac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=r$, $I_1=a^2\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \displaystyle\int\limits_0^a\sqrt{1+\dfrac{r^2}{a^2-r^2}}rdr=a^2 \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \left[ -a\sqrt{a^2-r^2}\left.\dfrac{}{}\right|_0^a \right]=a^4\dfrac{\pi}{2}$.
Правильно ли так будет?

[Otta]

Поверхностный интеграл от единицы знаете, чему равен?

[Terraniux]

Otta в сообщении #860053 писал(а):

Поверхностный интеграл от единицы знаете, чему равен?

Площади поверхности, по которой ведется интегрирование?

[Otta]

Верно. А у Вас интеграл от константы. И значит?

[Terraniux]

Otta в сообщении #860056 писал(а):

Верно. А у Вас интеграл от константы. И значит?

Значит, это площадь поверхности интегрирования, умноженная на константу.
Почему же тогда ответ не правильный получился?

Вообще, возникает на этом примере более общий вопрос.
Пусть поверхность однозначно задана неявной функцией $F(x,y,z)=0$, надо найти интеграл $\displaystyle\iint\limits_{G}f(x,y,z)dS$. Тогда, его можно свести к двойному $\iint\limits_{G_0}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$, где $G_0$ - проекция G на плоскость $Oxy$. Но если $z(x,y)$ мы не можем выразить явно, то что тогда?

[Otta]

Ну вот и весь Ваш интеграл. А артиллерию будете во втором применять.

Terraniux в сообщении #860051 писал(а):

$I_1=\displaystyle\iint\limits_{G}a^2\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{a-(x^2+y^2)}}dxdy=a^2\displaystyle\int\limits_0^1dx\displaystyle\int\limits_0^{a-x^2}\sqrt{1+\dfrac{x^2+y^2}{a-(x^2+y^2)}}dy$. Перейдем к полярным координатам:
$(x,y)\mapsto (r,\varphi),\ \dfrac{D(x,y)}{D(r,\varphi)}=r$, $I_1=a^2\displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \displaystyle\int\limits_0^a\sqrt{1+\dfrac{r^2}{a^2-r^2}}rdr=a^2 \displaystyle\int\limits_0^{\pi/2}d\varphi \left[ -a\sqrt{a^2-r^2}\left.\dfrac{}{}\right|_0^a \right]=a^4\dfrac{\pi}{2}$.

Опечаток слишком много, кстати. Оно Вам не надо, но на всякий случай.

-- 07.05.2014, 04:08 --

Terraniux в сообщении #860058 писал(а):

Почему же тогда ответ не правильный получился?

А какой ожидаете?

[Terraniux]

Otta в сообщении #860061 писал(а):

А какой ожидаете?

$a^2S/8=\pi r^2/2=a^2\pi/2a^=a^4\pi/2$. Да, сошлось, вроде.

[Otta]

Terraniux в сообщении #860058 писал(а):

Пусть поверхность однозначно задана неявной функцией $F(x,y,z)=0$,

Так не говорят. Поверхность задается уравнением $F(x,y,z)=0$. Все.
В свою очередь, этим уравнением может быть неявно задана функция $z(x,y)$ или $y(x,z)$ или $x(y,z)$. Но если явно выразить ее нельзя, то толку для параметризации поверхности с ее помощью мало. Лучше использовать какую-либо параметризацию более общего вида:

$$\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\quad\quad (u,v)\in U\\z=z(u,v)\end{cases}$$

и соответствующую формулу для вычисления поверхностного интеграла. Та, которой Вы пользуетесь - частный случай общей.

[Terraniux]

Otta в сообщении #860063 писал(а):

Terraniux в сообщении #860058 писал(а):

Пусть поверхность однозначно задана неявной функцией $F(x,y,z)=0$,

Так не говорят. Поверхность задается уравнением $F(x,y,z)=0$. Все.
В свою очередь, этим уравнением может быть неявно задана функция $z(x,y)$ или $y(x,z)$ или $x(y,z)$. Но если явно выразить ее нельзя, то толку для параметризации поверхности с ее помощью мало. Лучше использовать какую-либо параметризацию более общего вида:

$$\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v)\quad\quad (u,v)\in U\\z=z(u,v)\end{cases}$$

и соответствующую формулу для вычисления поверхностного интеграла. Та, которой Вы пользуетесь - частный случай общей.

А всегда ли возможна такая параметризация, если поверхность задана уравнением $F(x,y,z)=0$?
Вроде, далеко не всегда. Что делать в таком случае, если подобрать параметризацию $\begin{cases}x=x(u,v)\\y=y(u,v) \\z=z(u,v)\end{cases}$ не получилось? Наверное, тогда интеграл просто не вычисляется явно.

[provincialka]

Что вы понимаете под словами "параметризация возможна"? Если уравнение задает поверхность (не вырождено), то теоретически точно возможна. Другое дело, как найти ее явно... Ну, в учебных примерах и не дают слишком заковыристых уравнений.

[Otta]

Это разные вещи - подобрать не получилось и всегда ли возможна.
Поверхность, заданная одним уравнением, допускает параметризацию практически всегда. Достаточно потребовать от $F$ нужной гладкости и $\operatorname{grad} F(x,y,z)\ne 0$. Конечно, карта не обязательно одна, как у меня написано.

Другое дело - что происходит при реальной попытке параметризации. Тут каждый случай требует индивидуального рассмотрения.

[Terraniux]

Спасибо за разъяснение!
Вопрос был поставлен некорректно. Имелось в виду именно явное выражение "через функции", которое, очевидно, далеко не всегда возможна. Но сама параметризация возможна.
Да, в учебных задачах действительно, не очень забористо все устроено.

(Оффтоп)

Завтра дорешаю и сравню с ответом. Пока пойду спать. Всем спокойной ночи!