Ландау том 3 Движение в однородном магнитном поле!

[AppoloMustDie]

Доброго времени суток!

Прошу помочь с 112 параграфом из 3-его тома Ландафшица.

Выбрав векторный потенциал однородного поля Ландау упрощает гамильтониан и в итоге всех преобразований получает волновую функцию в виде $\psi=\exp[i/h(p_{x}x+p_{z}z)]\chi(y)$

А мне требуется расписать все ,что сделано между словами "очевидно, что" , подробно:)

Так что прошу помощи у тех кто делал что-нибудь подобное)

[Ms-dos4]

Так не пойдёт. Пишите сами (и подробно) сюда, где будут конкретные затруднения там и поможем.

[AppoloMustDie]

Итак, распишу что сделано мною!
$H=\frac{1}{2m}(p-\frac{e}{c}A)^2+e\varphi-\mu H$ гамильтониан электрона в магнитном поле имеет вид

Здесь мы будем рассматривать движение частицы только в однородном и стационарном в магнитном поле с кулоновой калибровкой
$divA=0, \varphi=0$

Тогда,$H=\frac{1}{2m}(p-\frac{e}{c}A)^2-\mu H$

Выбрав векторный потенциал в виде $A_{x}=-Hy, A_{z}=A_{y}=0$

Далее и начинаются затруднения, раскрывая квадрат и учитывая действия операторов $(p-\frac{e}{c}A)^2$

получаем $H=\frac{1}{2m} p^2-\frac{e}{mc}(pA+Ap)+\frac{e^2}{2mc^2}A^2-\mu H$

в соответствии с $divA=0, pA=Ap$ , Ландау получает

вот такой гамильтониан $H=\frac{1}{2m}(p_{x}+\frac{eH}{c}y)^2+\frac{p_{y}^2}{2m}+\frac{p_{z}^2}{2m}-\frac{\mu}{s}s_{z}H$

Вопрос в том каким образом получается такой гамильтониан и как от него перейти к У.Ш. в виде

$\frac{1}{2m}[(p_{x}+\frac{eH}{c}y)^2+p^2_{y}+p^2_{z}]\varphi-\frac{\mu}{c}\sigmaH\varphi=E\varphi$

и далее получить волновую функцию в виде

$\varphi=\exp[\frac{i}{h}(p_{x}x+p_{z}z)]\chi(y) $

[warlock66613]

AppoloMustDie, помечайте векторы жирным ($\mathbf H$, $\boldsymbol\mu$) или стрелками ($\vec{H}$, $\vec{\mu}$), а то запутаетесь.

-- 06.05.2014, 13:18 --

Что качается дальнейшего, распишите через компоненты $\mathbf p \mathbf A$ и $\mathbf A^2$.

[Munin]

Может, проще можно? $(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A})^2=(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A})_x^2+(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A})_y^2+(\mathbf{p}-\frac{e}{c}\mathbf{A})_z^2.$

-- 06.05.2014 13:22:09 --

Гамильтонян...

[Ms-dos4]

Munin
Разве нельзя сразу $\[{(\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over p} - \frac{e}{c}\vec A)^2} = {({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over p} }_x} - \frac{e}{c}{A_x})^2} + {({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over p} }_y} - \frac{e}{c}{A_y})^2} + {({{\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over p} }_z} - \frac{e}{c}{A_z})^2}\]$ ?

[warlock66613]

Munin в сообщении #859791 писал(а):

Может, проще можно?

Конечно лучше так, а то потом раскрытые скобки обратно придётся собирать

[Red_Herring]

Для начала заметим что один и тот же символ $H$ у Вас обозначает и Гамильтониан и напряженность магнитного поля. Обозначая последнее через $B$ мы видим, что опреатор распадается в прямую сумму одномерного по $z$ и двумерного по $x,y$. Интересное начинается отсюда:

Поскольку $H$ коммутирует с $p_x,p_z$ их можно считать постоянными (ну например сделав преобразование Ф. по $x,z$) и мы получаем сдвинутый гармонический осциллятор по $y$ собственные функции которого …. дальше уж додумывайте сами и поймите, почему в размерности 2 (без $z$) спектр чисто точечный бесконечнократный (уровни Ландау), а в 3 — непрерывный (речь идет о всем пространстве/плоскости).

Интересный также вопрос — чем отличается классическая динамика в размерностях 2 и 3?

[Munin]

Ms-dos4
А я что сказал?

Red_Herring в сообщении #859808 писал(а):

Для начала заметим что один и тот же символ $H$ у Вас обозначает и Гамильтониан и напряженность магнитного поля.

Ну, это ещё не страшно, потому что одно появляется только в левой части от знака равенства, а другое - только в правой :-) Хотя, конечно, пишут что-то типа $\hat{H},H$ или $H,\mathscr{H}.$

[Red_Herring]

Ну я понял где закавыка. Так что начнем с начала. Есть такой Гамильтониан Паули:

$$\mathsf{H}= \bigl((\mathbf{p}-\mathbf{A})\cdot \boldsymbol\sigma}\bigr)^2 + V$$

где я принимаю для простоты $c=e=1$ и $\boldsymbol\sigma}$ вектор составленный из матриц Паули. Разумеется волновые функции здесь принимают значения в $\mathbb{C}^2$.

Пока спина нет (прячется!) Если этот оператор расписать (эйнштейновское суммирование)
$ \bigl((\mathbf{p}-\mathbf{A})\cdot \boldsymbol\sigma}\bigr)^2= (p_j -A_j)\sigma_j (p_k -A_k)\sigma_k= (p_j -A_j) (p_k -A_k)\sigma_j\sigma_k=\\ \frac{1}{2}\Bigl( (p_j -A_j) (p_k -A_k)\sigma_j\sigma_k+ (p_k -A_k) (p_j -A_j)\sigma_k\sigma_j\Bigr)$
и вспомнить что $\sigma_k\sigma_j+\sigma_j\sigma_k=2\delta_{jk}I$ но помнить, что ни операторы, ни матрицы у нас не коммутируют, мы придем к
\begin{equation} (p_j -A_j)^2 + \frac{1}{2}[p_j -A_j,p_k -A_k][\sigma_j,\sigma_k]\end{equation}
где первый член в точности $(\mathbf{p}-\mathbf{A})^2$, а вот второй будет $\mathbf{B}\cdot \mathbf{s}$. Здесь мы используем $[p_j -A_j,p_k -A_k]= -i\hbar \varepsilon_{jkl}B_l$ и $[\sigma_j,\sigma_k]=-2i \varepsilon_{jkl}\sigma_l$ с точностью до знаков $\pm$, где $\varepsilon_{jkl}$ абсолютно антисимметричный тензор и мы вводим векторный оператор спина (вот откуда он вылезает).

В рассмотренном примере $\mathbf{B}=(0,0,B)$ и остается только $s_z=\sigma_3$ с собственными значениями $\pm 1$, который при этом коммутирует с Гамильтонианом, что позволяет от функций со значениями в $\mathbf{C}^2$ перейти к скалярным и мы имеем два !!! скалярных Гамильтониана отличных постоянным спиновым членом (что в данном примере несущественно: просто спектры сдвигаются)