Ну я понял где закавыка. Так что начнем с начала. Есть такой Гамильтониан Паули:

где я принимаю для простоты

и

вектор составленный из матриц Паули. Разумеется волновые функции здесь принимают значения в

.
Пока спина нет (прячется!) Если этот оператор расписать (эйнштейновское суммирование)

и вспомнить что

но помнить, что ни операторы, ни матрицы у нас не коммутируют, мы придем к
![\begin{equation}
(p_j -A_j)^2 +
\frac{1}{2}[p_j -A_j,p_k -A_k][\sigma_j,\sigma_k]\end{equation} \begin{equation}
(p_j -A_j)^2 +
\frac{1}{2}[p_j -A_j,p_k -A_k][\sigma_j,\sigma_k]\end{equation}](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/a/2ca0634de0bf084e3933955785e7bb4782.png)
где первый член в точности

, а вот второй будет

. Здесь мы используем
![$[p_j -A_j,p_k -A_k]= -i\hbar \varepsilon_{jkl}B_l$ $[p_j -A_j,p_k -A_k]= -i\hbar \varepsilon_{jkl}B_l$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/a/7dae3faec6628c20ce50d03fbb9d05c882.png)
и
![$[\sigma_j,\sigma_k]=-2i \varepsilon_{jkl}\sigma_l$ $[\sigma_j,\sigma_k]=-2i \varepsilon_{jkl}\sigma_l$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/d/21dc540f3954adb82921b71f904240b882.png)
с точностью до знаков

, где

абсолютно антисимметричный тензор и мы вводим векторный оператор спина (вот откуда он вылезает).
В рассмотренном примере

и остается только

с собственными значениями

, который при этом коммутирует с Гамильтонианом, что позволяет от функций со значениями в

перейти к скалярным и мы имеем два !!! скалярных Гамильтониана отличных постоянным спиновым членом (что в данном примере несущественно: просто спектры сдвигаются)