Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру

[GlazkovD]

Читал на эту тему Фихтенгольца. Немного не понял. Хочу проконсультироваться.

Я хочу взять Криволинейный интеграл по замкнутому контуру классическим методом. (Без использования формулу Грина).

Проверьте кому не лень ход решения.

$$\int_{(ABCA)}^{} (x+y) dx + (x+y)dy $$

где контур ABCA- ломанная линия.
A(0;0) B(2;2) C(4;0)

Как я понимаю, обход контура идет от A к B от B к C и от C к A.

Мой Бред
Т.к будем использовать для описания контура 3 уравнения прямых, задам их
в виде явных функций

$$y=y(x)$$

По этому буду использовать следующую формулу сведения криволинейного интеграла к обычному:

$$\int_{(AB)}^{} P(x,y) dx + Q(x,y)dy =\int_{a}^{b} (P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x) )dx $$

где a- координата x точки А.
b- координата x точки B

Мне кажется что

$$\int_{(ABCA)}^{}=\int_{(AB)}^{}+\int_{(BC)}^{}+\int_{(CA)}^{}$$

В случае

$$\int_{(AB)}^{}$$

используем уравнение прямой

$$y(x)=x$$

$$\int_{(AB)}^{}= \int_{0}^{2} ((x+x)+(x+x)*x')dx=8$$

---------------------
В случае

$$\int_{(BC)}^{}$$

найду уравнение соответствующей прямой

$$ \frac {y-y1} {y2-y1} = \frac {x-x1} {x2-x1} $$

$$ \frac {y-2} {-2} = \frac {x-2} {2} $$

откуда

$$y(x)=4-x $$

$$\int_{(BC)}^{}=\int_{2}^{4} ((x+4-x)+(x+4-x)*(4-x)')dx =0 $$

---------------------------
С

$$\int_{(CA)}^{}$$

дело предстоит немного иначе

$$\int_{(CA)}^{}= \int_{4}^{0} (.........)dx $$

Но по условию формулы

$$a \leqslant x \leqslant b$$

А тут наоборот

$$a>b$$

Для обхода этого трабла применю следующее свойство криволинейного интеграла 2 рода

$$\int_{(CA)}^{} =-\int_{(AC)}^{}$$

В данном случае уравнение прямой

$$ y(x)=0$$

$$\int_{(CA)}^{} =-\int_{(AC)}^{}= - \int_{0}^{4} ((x+0)+(x+0)*0')dx=-8$$

Итого

$$\int_{(ABCA)}^{}=\int_{(AB)}^{}+\int_{(BC)}^{}+\int_{(CA)}^{} = 8+0-8=0$$

[Brukvalub]

Несколько наивно, но всё правильно.

[GlazkovD]

OFFTOP
К сожалению я заочник, и в добавок не мехмата,
а медицинской электроники. Уровень знаний всеравно будет в сотни раз уступать.
/OFFTOP

Brukvalub большое спасибо за помощь

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

Уровень знаний всеравно будет в сотни раз уступать.

Да все нормально, у Вас вполне приличный уровень знаний!