2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Криволинейный интеграл 2 рода по замкнутому контуру
Сообщение12.11.2007, 22:12 
Аватара пользователя
Читал на эту тему Фихтенгольца. Немного не понял. Хочу проконсультироваться.

Я хочу взять Криволинейный интеграл по замкнутому контуру классическим методом. (Без использования формулу Грина).

Проверьте кому не лень ход решения.

$$\int_{(ABCA)}^{} (x+y) dx + (x+y)dy $$

где контур ABCA- ломанная линия.
A(0;0) B(2;2) C(4;0)
Изображение
Как я понимаю, обход контура идет от A к B от B к C и от C к A.

Мой Бред
Т.к будем использовать для описания контура 3 уравнения прямых, задам их
в виде явных функций $$y=y(x)$$
По этому буду использовать следующую формулу сведения криволинейного интеграла к обычному:

$$\int_{(AB)}^{} P(x,y) dx + Q(x,y)dy =\int_{a}^{b} (P(x,y(x)) + Q(x,y(x))y'(x) )dx $$

где a- координата x точки А.
b- координата x точки B

Мне кажется что $$\int_{(ABCA)}^{}=\int_{(AB)}^{}+\int_{(BC)}^{}+\int_{(CA)}^{}$$

В случае $$\int_{(AB)}^{}$$ используем уравнение прямой $$y(x)=x$$

$$\int_{(AB)}^{}= \int_{0}^{2} ((x+x)+(x+x)*x')dx=8$$
---------------------
В случае $$\int_{(BC)}^{}$$ найду уравнение соответствующей прямой

$$ \frac {y-y1} {y2-y1} = \frac {x-x1} {x2-x1} $$


$$ \frac {y-2} {-2} = \frac {x-2} {2} $$
откуда $$y(x)=4-x $$

$$\int_{(BC)}^{}=\int_{2}^{4} ((x+4-x)+(x+4-x)*(4-x)')dx =0 $$
---------------------------
С $$\int_{(CA)}^{}$$ дело предстоит немного иначе

$$\int_{(CA)}^{}= \int_{4}^{0} (.........)dx $$
Но по условию формулы $$a \leqslant x \leqslant b$$
А тут наоборот $$a>b$$

Для обхода этого трабла применю следующее свойство криволинейного интеграла 2 рода

$$\int_{(CA)}^{} =-\int_{(AC)}^{}$$
В данном случае уравнение прямой $$ y(x)=0$$
$$\int_{(CA)}^{} =-\int_{(AC)}^{}= - \int_{0}^{4} ((x+0)+(x+0)*0')dx=-8$$

Итого $$\int_{(ABCA)}^{}=\int_{(AB)}^{}+\int_{(BC)}^{}+\int_{(CA)}^{} = 8+0-8=0$$

 
 
 
 
Сообщение12.11.2007, 22:35 
Аватара пользователя
Несколько наивно, но всё правильно.

 
 
 
 
Сообщение12.11.2007, 22:45 
Аватара пользователя
OFFTOP
:( К сожалению я заочник, и в добавок не мехмата,
а медицинской электроники. Уровень знаний всеравно будет в сотни раз уступать.
/OFFTOP

Brukvalub большое спасибо за помощь :D

 
 
 
 
Сообщение12.11.2007, 22:49 
Аватара пользователя
GlazkovD писал(а):
Уровень знаний всеравно будет в сотни раз уступать.
Да все нормально, у Вас вполне приличный уровень знаний!

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group