Гамильтонов формализм.

[Katmandu]

Вчера познакомился с 2 новыми интересными словами "Гамильтонов формализм". Расскажите, что это такое. Везде написано непонятным языком. Разобраться хочется, а в голове куча букв неизвестно происхождения.

[Munin]

В учебниках по теоретической механике обычно рассказываются две главные вещи: лагранжева теоретическая механика и гамильтонова теоретическая механика. Это практически то же самое, что и ... формализм.

Например, см.
Ландау, Лифшиц. Механика. (Теоретическая физика - 1)
Арнольд. Математические методы классической механики.

-- 04.05.2014 12:05:25 --

По сути, всё очень просто.

1.
В ньютоновской механике для движения каждого тела записывают 2-й закон Ньютона (+ возможно ещё кое-что, не будем отвлекаться). В целом, получается куча таких уравнений, которые можно решать вместе или по отдельности. В теоретической механике, берут всю эту кучу вместе, и считают, что стоит задача найти движение механической системы, взятой как целое - то есть, всех составляющих её тел. Тогда, можно считать, что все координаты, описывающие положение всех тел, - это координаты единого многомерного пространства (обобщённые координаты), которое называется конфигурационным пространством механической системы. А сама система оказывается какой-то материальной точкой в этом пространстве, движущейся по одному дифференциальному уравнению, похожему на 2-й закон Ньютона. Если рассматривать именно конфигурационное пространство и движение в нём, то получается лагранжева механика. Дифференциальное уравнение в нём - второго порядка, то есть основано на второй производной: $\ddot{q}=F(q,\dot{q},t).$

2.
Любое дифференциальное уравнение второго порядка можно представить себе как два дифференциальных уравнения первого порядка. То есть, объявим первую производную новой переменной, и тогда получим не $\ddot{q}=F(q,\dot{q},t),$ а систему уравнений $\dot{q}=Q,\quad\dot{Q}=F(q,Q,t).$ И раньше была система, и теперь система, только уравнений стало в два раза больше, и переменных в два раза больше. Зато - порядок дифференциального уравнения стал меньше, а это часто позволяет легче решать уравнения. Подобный приём (похожий, но в деталях отличающийся) применяют в теоретической механике. При этом новое пространство для описания состояния механической системы, в котором вдвое больше переменных, называется фазовым пространством. А рассмотрение движения в таком пространстве - гамильтонова механика. Традиционно новые переменные называют обобщёнными импульсами, и уравнения получают вид $\dot{q}=G_1(q,p,t),\quad\dot{p}=G_2(q,p,t).$ Вместе обобщённые координаты и обобщённые импульсы называются каноническими переменными, а гамильтонов вид механики ещё называют каноническим формализмом.

[Katmandu]

Спасибо. Все более менее понятно, кроме того момента, где появилось $\dot p$.

А можно ли рассмотреть какую-нибудь задачу самую простую, для решения которой сперва применили лагранжеву механику, а потом гамильтонову.

[Katmandu]

Katmandu в сообщении #858800 писал(а):

Спасибо. Все более менее понятно, кроме того момента, где появилось $\dot p$.

$p_i$ и есть обобщенные импульсы, новые переменные которые вводятся при переходе от лагранжа к гамильтону.

[Nirowulf]

Katmandu в сообщении #858800 писал(а):

А можно ли рассмотреть какую-нибудь задачу самую простую, для решения которой сперва применили лагранжеву механику, а потом гамильтонову.

Гармонический осциллятор.

Задача о движении в центральном поле тоже подойдёт.

[Munin]

Ну, осциллятор так осциллятор. Это, напоминаю, грузик на пружинке, то есть, $F=-kx.$

Лагранжева механика.
Записываем функцию Лагранжа $L=T-U.$ Кинетическая энергия грузика $T=mv^2/2,$ причём мы знаем, что скорость - это производная координаты по времени, то есть $T=m\dot{x}^2/2.$ Потенциальная энергия получается как интеграл (первообразная) от силы, $U=kx^2/2.$ Итого, $L=m\dot{x}^2/2-kx^2/2.$ Это функция от величин $x,\dot{x}$ как от независимых переменных, воспринимайте их просто как разные буквы. Это важно для понимания смысла частных производных. То есть, $L$ - функция на двумерном пространстве (время не понадобилось, а то была бы на трёхмерном).

Пропуская стандартные рассуждения про принцип наименьшего действия, запишем уравнения Лагранжа (Эйлера-Лагранжа):

$$\dfrac{d}{dt}\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}-\dfrac{\partial L}{\partial x}=0.$$

Взяв эти самые частные производные, получаем

$$\dfrac{d}{dt}(m\dot{x})+kx=m\ddot{x}+kx=0.$$

По сути, это то же самое, как если бы мы записали 2-й закон Ньютона. Решение этого дифференциального уравнения в общем виде - синусоиды:

$$x(t)=A\sin\omega t+B\cos\omega t=A\cos(\omega t+\varphi_0),\qquad\omega=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.$$

Как и положено уравнению второго порядка, решение зависит от двух произвольных параметров, в одной форме записи от $A,B,$ а в другой форме записи - от $A,\varphi_0.$ Эти параметры называются амплитудой и начальной фазой колебаний. Когда мы ставим более частную задачу, то на решение накладываются условия (например, начальные условия), и эти параметры становятся не произвольными, а вычисляются из этих условий. Например, если мы знаем начальное положение и начальную скорость, то $x(t_0)=A\cos(\omega t_0+\varphi_0),$ $\dot{x}(t_0)=-A\omega\sin(\omega t_0+\varphi_0),$ откуда можно вычислить $A,\varphi_0.$

Сразу укажем, что в теоретической механике обобщёнными импульсами по определению называются величины $p_i=(\partial L/\partial\dot{q}_i),$ так что в нашей задаче мы имеем один обобщённый импульс

$$p=\dfrac{\partial L}{\partial\dot{x}}=m\dot{x}.$$

По удачному совпадению, он здесь совпадает с обычным импульсом (и понятно, откуда его название). Поскольку обобщённый импульс пропорционален скорости, то его можно считать такой же удобной переменной для понижения порядка дифференциального уравнения, что и саму скорость $\dot{x}.$

Гамильтонова механика.
Мы можем чисто формально заменить в предыдущем уравнении (Лагранжа) те места, где входит скорость, на импульсы:

$$\dfrac{d}{dt}p+kx=\dot{p}+kx=0.$$

Это уравнение первого порядка. Но его нельзя решить, потому что уравнение одно, а независимых переменных две: $p,x.$ Зато, мы можем вспомнить наше "определение импульса", и считать его ещё одним уравнением. Итого, имеем систему уравнений:

$$\begin{cases}\dot{p}=-kx\\\dot{x}=p/m.\end{cases}$$

Это система первого порядка от двух независимых переменных. Её решения образуют линии на плоскости $(p,x),$ так что с какой бы точки плоскости мы ни начали, из неё выходит одна линия:



Такая картинка называется фазовый портрет системы. При одном взгляде на неё, становится видно всё существенное, что касается движения системы. В данном случае: все решения периодические, качественно одинаковые (не считая тривиального решения в нуле). Часто фазовый портрет позволяет качественно анализировать сложные системы. Но в то же время, фазовый портрет часто бывает в многомерном пространстве, и из-за этого теряет в наглядности.

Заметим, что в данном случае все решения системы разделились на непересекающиеся окружности. Можно ввести такую функцию, что решения будут линиями уровня этой функции (в более общем многомерном случае, будут лежать на поверхности уровня - это свойство любой сохраняющейся величины), и в частности, рассмотреть такую функцию:

$$H=T+U=\dfrac{p^2}{2m}+\dfrac{kx^2}{2}.$$

Эта функция равна полной энергии системы, и называется функцией Гамильтона. Её можно получить из функции Лагранжа стандартным преобразованием:

$$H={\textstyle\sum\limits_i p_i\dot{q}_i}-L,$$

и после этого записать систему уравнений Гамильтона (систему канонических уравнений движения):

$$\dot{q}=\dfrac{\partial H}{\partial p},\quad\dot{p}=-\dfrac{\partial H}{\partial q}.$$

Это в данном случае приведёт к той системе уравнений и к тому фазовому портрету, которые выписаны выше.

В таком виде ньютонова механика, лагранжева механика и гамильтонова механика равносильны между собой. Но встречаются случаи, когда одна из них удобнее другой, и встречаются случаи, которые можно выразить на одном языке, но нельзя - на другом.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #859000 писал(а):

Заметим, что в данном случае все решения системы разделились на непересекающиеся окружности.

В общем случае, эллипс же по идее будет?

Katmandu
Ну, а про задачу в центральном поле смотрите Ландафшиц Том 1. В параграфе $14$ она решается в рамках лагранжевого формализма, в параграфе $48$ с помощью уравнения Гамильтона-Якоби.

[Munin]

(Оффтоп)

Nirowulf в сообщении #859034 писал(а):

В общем случае, эллипс же по идее будет?

А, эллипс, шмэллипс... Выбором масштаба вдоль осей, они все делаются окружностями :-)

Вообще, вы правы, но поправляться лень.

[Katmandu]

Munin в сообщении #859000 писал(а):

Записываем функцию Лагранжа $L=T-U.$ Кинетическая энергия грузика $T=mv^2/2,$ причём мы знаем, что скорость - это производная координаты по времени, то есть $T=m\dot{x}^2/2.$ Потенциальная энергия получается как интеграл (первообразная) от силы, $U=kx^2/2.$

Потенциальная энергия это первообразная от силы. $ U = \int Fdx = -\int kxdx = -kx^2/2$..
Понятно, что пока всё правильно... но знаки смущают иногда.

-- 05.05.2014, 00:55 --

Спасибо за разъяснение, основная идея понята

[Nirowulf]

Katmandu в сообщении #859076 писал(а):

Потенциальная энергия это первообразная от силы. $ U = \int Fdx = -\int kxdx = -kx^2/2$

Вы минус потеряли. Сила $\mathbf{F}=-\frac{\partial U}{\partial\mathbf{r}}.$ Поэтому $U=-\int Fdx.$

[Munin]

Katmandu в сообщении #859076 писал(а):

Понятно, что пока всё правильно... но знаки смущают иногда.

Да, надо запомнить, что функция Лагранжа имеет непривычный знак для потенциальной энергии: не плюс, а минус. Плюс восстанавливается, когда мы от функции Лагранжа переходим к функции Гамильтона.

Зачем такие знаки в функции Лагранжа - это тема отдельного рассказа, про принцип наименьшего действия. Так что, не в этот раз :-)

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

каноническим преобразованием "эллипс " всегда можно превратить в "окружность"

[arseniiv]

(Оффтоп)

Тут надо отметить, что эти эллипсы можно превратить в окружности без поворотов, одними лишь растяжениями относительно осей, т. е. это не любые эллипсы.

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #859160 писал(а):

каноническим преобразованием "эллипс " всегда можно превратить в "окружность"

Но не всякую систему эллипсов - в систему окружностей.