Поверхностный интеграл

[Terraniux]

Всем добрый день.

Возникли некоторые вопросы по поверхностным интегралам 1-го рода
1. Можно ли изучать поверхностные интегралы без изучения дифференциальных форм в $\mathbb{R}^m$, по-тупому?
2. Непонятен такой момент в параграфе 4 "Поверхностные интегралы" главы 20 учебника "Лекции по математическому анализу" Садовничего.
Там говорится о касательной плоскости $R_{k,l}$ и соответствующем параллелограмме. Вопрос: какие вершины этого параллелограмма? Одна из них - $r(u_{k,l},v_{k,l})$ - а три другие?
После этого станет понятно определение пов. интеграла.

[Otta]

Terraniux
1. В принципе, можно. Достаточно лишь определить хорошо форму поверхностного объема $dS$, но это можно сделать и без дифф. форм.

Terraniux в сообщении #858191 писал(а):

Одна из них - $r(u_{k,l},v_{k,l})$ - а три другие?

Не читала, но попробую угадать. Две другие - концы соотв. касательных векторов (там должно быть указано, каких), а третья - достраивается однозначно. Если это проделать в точках поверхности, получается такая "чешуя", или, как ее еще называют, черепица.

[ewert]

Terraniux в сообщении #858191 писал(а):

Одна из них - $r(u_{k,l},v_{k,l})$ - а три другие?

Получаются прибавлением дифференциала по одной переменной, по другой и по обеим.

[svv]

В обозначениях книги:
$\begin{matrix}\mathbf r_0&\mathbf r_0+\mathbf r_1\delta\\\mathbf r_0+\mathbf r_2\delta&\mathbf r_0+\mathbf r_1\delta+\mathbf r_2\delta\end{matrix}$

$\mathbf r_0=\mathbf r(u_{k,l},v_{k,l}),\; \mathbf r_1=\mathbf r'_u(u_{k,l},v_{k,l}),\; \mathbf r_2=\mathbf r'_v(u_{k,l},v_{k,l})$.

-- Пт май 02, 2014 18:11:17 --

ewert в сообщении #858212 писал(а):

Получаются прибавлением дифференциала

Вы ж говорили, не нужны они.

[Terraniux]

Спасибо ответившим!
Т.е., фактически, поверхностный интеграл - не сильно отличается от "обычных" кратного и криволинейного, только суммирование ведется по другим слагаемым?

[ewert]

(Оффтоп)

svv в сообщении #858215 писал(а):

Вы ж говорили, не нужны они.

Где говорил?...

Кстати уж:

svv в сообщении #858215 писал(а):

$\begin{matrix}\mathbf r_0&\mathbf r_0+\mathbf r_1\delta\\\mathbf r_0+\mathbf r_2\delta&\mathbf r_0+\mathbf r_1\delta+\mathbf r_2\delta\end{matrix}$

Вы точно уверены, что $3\sin\approx0.14$ ?...

-- Сб май 03, 2014 22:44:05 --

Terraniux в сообщении #858662 писал(а):

поверхностный интеграл - не сильно отличается от "обычных" кратного и криволинейного,

Не сильно в том смысле, что идеологически вводится ровно так же. Технически -- попыхтеть придётся несколько больше; но и то: с точки зрения не содержательной, а лишь формального обоснования корректности.

[Terraniux]

ewert в сообщении #858666 писал(а):

Не сильно в том смысле, что идеологически вводится ровно так же. Технически -- попыхтеть придётся несколько больше; но и то: с точки зрения не содержательной, а лишь формального обоснования корректности.

Это, например, вопросы ориентации поверхности в $\mathbb{R}^m$ и разметки?

[Otta]

Зачем первому роду ориентация? Вопросы независимости от выбора параметризации.