Матрица в другом базисе

[MestnyBomzh]

Дана полуторалинейная функция $f$ в $\mathbb{C}^2$ с базисом $(e_1,e_2)$. Она задана матрицей

$$A=\begin{pmatrix} 5+8i & 6+i \\ 7+3i & 2 \end{pmatrix}$$

Требуется найти матрицы $A',A''$ в базисах $(e_1',e_2')$ и $(e_1'',e_2'')$ соответственно, где $e_1'=2e_1+ie_2, e_2'=ie_1+e_2,e_1''=3e_1+ie_2,e_2''=-ie_1+e_2$;
Верно ли я понимаю, что матрица

$$A'=\begin{pmatrix} 2 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5+8i & 6+i \\ 7+3i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}^{-1}$$

И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):

Верно ли я понимаю, что матрица

$$A'=\begin{pmatrix} 2 & i \\ i & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5+8i & 6+i \\ 7+3i & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}^{-1}$$

Нет, потому что это матрица полуторалинейной формы, а не оператора.

Напишите, что такое полуторалинейная функция на пространстве и как определяется матрица, задающая полуторалинейную функцию в некотором базисе.

Более правильный термин, кстати, "полуторалинейная форма"

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):

И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

Ту, что это матрица именно формы, а не оператора. Матрица формы и матрица оператора преобразуются при замене базиса по разным законам.

[MestnyBomzh]

Функция $B(a,b)$ называется полуторалинейной формой, если она удовлетворяет четырем свойствам:
1) $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$
2) $B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)$
3) $B(ax,y)=aB(x,y)$
4) $B(x,ay)=\bar{a}B(x,y)$
Матрица полуторалинейной формы называется матрица, для которой $b_{ij}=B(e_i,e_j)$
Тогда, в моем случае будет так:

$$B'=\begin{pmatrix} B(2e_1+ie_2,2e_1+ie_2) & B(2e_1+ie_2,ie_1+e_2)\\ B(ie_1+e_2,2e_1+ie_2)&B(ie_1+e_2,ie_1+e_2) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B(2e_1,2e_1)+B(2e_1,ie_2)+B(ie_2,2e_1)+B(ie_2,ie_2) &B(2e_1,ie_1)+B(2e_1,e_2)+B(ie_2,ie_1)+B(ie_2,e_2) \\ B(ie_1,2e_1)+B(ie_1,ie_2)+B(e_2,2e_1)+B(e_2,ie_2) & B(ie_1,ie_1)+B(ie_1,e_2)+B(e_2,ie_1)+B(e_2,e_2) \end{pmatrix}$$

Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что

$$\begin{pmatrix} 5+8i &6+i \\ 7+3i & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2) \end{pmatrix}$$

И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?

-- 03.05.2014, 22:49 --

Хмм, матрица не загрузилась полностью. Там я раскладывал по линейности суммы

[Xaositect]

MestnyBomzh в сообщении #858669 писал(а):

Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что

$$\begin{pmatrix} 5+8i &6+i \\ 7+3i & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2) \end{pmatrix}$$

И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?

Да.

[MestnyBomzh]

Благодарю!