2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 19:44 
Аватара пользователя
Дана полуторалинейная функция $f$ в $\mathbb{C}^2$ с базисом $(e_1,e_2)$. Она задана матрицей $$A=\begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}$$
Требуется найти матрицы $A',A''$ в базисах $(e_1',e_2')$ и $(e_1'',e_2'')$ соответственно, где $e_1'=2e_1+ie_2, e_2'=ie_1+e_2,e_1''=3e_1+ie_2,e_2''=-ie_1+e_2$;
Верно ли я понимаю, что матрица $$A'=\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix}^{-1}$$
И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

 
 
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 19:55 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):
Верно ли я понимаю, что матрица $$A'=\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5+8i & 6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 & i \\ 
i & 1
\end{pmatrix}^{-1}$$
Нет, потому что это матрица полуторалинейной формы, а не оператора.

Напишите, что такое полуторалинейная функция на пространстве и как определяется матрица, задающая полуторалинейную функцию в некотором базисе.

Более правильный термин, кстати, "полуторалинейная форма"

 
 
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 21:12 
MestnyBomzh в сообщении #858633 писал(а):
И какую роль в данной задаче играет фраза "полуторалинейная функция"?

Ту, что это матрица именно формы, а не оператора. Матрица формы и матрица оператора преобразуются при замене базиса по разным законам.

 
 
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 21:43 
Аватара пользователя
Функция $B(a,b)$ называется полуторалинейной формой, если она удовлетворяет четырем свойствам:
1) $B(x+y,z)=B(x,z)+B(y,z)$
2) $B(x,y+z)=B(x,y)+B(x,z)$
3) $B(ax,y)=aB(x,y)$
4) $B(x,ay)=\bar{a}B(x,y)$
Матрица полуторалинейной формы называется матрица, для которой $b_{ij}=B(e_i,e_j)$
Тогда, в моем случае будет так:
$$B'=\begin{pmatrix}
B(2e_1+ie_2,2e_1+ie_2) & B(2e_1+ie_2,ie_1+e_2)\\ 
 B(ie_1+e_2,2e_1+ie_2)&B(ie_1+e_2,ie_1+e_2) 
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(2e_1,2e_1)+B(2e_1,ie_2)+B(ie_2,2e_1)+B(ie_2,ie_2) &B(2e_1,ie_1)+B(2e_1,e_2)+B(ie_2,ie_1)+B(ie_2,e_2) \\ 
B(ie_1,2e_1)+B(ie_1,ie_2)+B(e_2,2e_1)+B(e_2,ie_2) & B(ie_1,ie_1)+B(ie_1,e_2)+B(e_2,ie_1)+B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что $$\begin{pmatrix}
5+8i &6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ 
 B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$ И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?

-- 03.05.2014, 22:49 --

Хмм, матрица не загрузилась полностью. Там я раскладывал по линейности суммы

 
 
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 22:01 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #858669 писал(а):
Ну а дальше раскладываем по вышесказанным четырем свойствам. Тогда верно ли я понимаю, что $$\begin{pmatrix}
5+8i &6+i \\ 
7+3i & 2
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
B(e_1,e_1) & B(e_1,e_2)\\ 
B(e_2,e_1)& B(e_2,e_2)
\end{pmatrix}$$ И именно отсюда мы будем брать нужные нам значения для новой матрицы?
Да.

 
 
 
 Re: Матрица в другом базисе
Сообщение03.05.2014, 22:08 
Аватара пользователя
Благодарю!

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group