Общее решение одного УРЧП

[DLL]

Есть дифференциальное уравнение в частных производных на функцию $g(x,y)$:
$2 g_y g_{xxy} g_{xx} g_{xy} - g_y g_{yyx} g_{xx}^2 - g_y g_{xxx} g_{xy}^2 + g_{xx}^2 g_{xy} g_{yy} - g_{xx} g_{xy}^3 = 0.$

Для него удается угадать решение (зависящее от двух произвольных функций одной переменной):
$g(x,y) = F_1 (x + F_2(y)).$

Старшая производная в уравнении - третья. Общее решение будет зависеть от трех произвольных функций (это можно доказать с помощью алгебраической техники).

Вот собственно хотелось бы его и найти, возможно воспользовавшись имеющимся решением. Было бы интересно услышать какие-нибудь соображения на этот счет...

[DLL]

Угаданное решение $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y)).$ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка: $-g_x g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Гипотетически исходное уравнение должно переписываться в терминах последнего дифференциального полинома. Но как это сделать непонятно.
Буду рад услышать любые предположения или гипотезы...

[Vince Diesel]

Чуть более общее решение: $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x$. Оно удовлетворяет уже уравнению $-(g_x-C_2) g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Если искать решение в виде $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x^2+ C_3 x$, то получается ОДУ на $F_1$:

$$ 2 {C_2} F_1{}^{(3)}( x) F_1'(x)-C_1^2 F_1''( x){}^3-2 {C_2} F_1''( x){}^2=0.$$

[DLL]

Ага, хорошо - решение увеличивается на 1 константу.
Правда, до еще 1 функции долго шагать придется

[Vince Diesel]

Не специалист, но систематический подход тут — групповой анализ ДУ. В мейпле есть целый пакет для нахождения симметрий, частных решений и. т.п.

[DLL]

Да, собственно "угаданное" решение и было таким образом построено...

[Vince Diesel]

Появление везде произвольной функции от $y$ наводит на мысль, что если $g(x,y)$ — решение, то мб $g(x,f(y))$ — тоже решение. И действительно, если обозначить через $L[g]$ оператор в левой части, непосредственно проверяется, что $L[g(x,f(y))]=f'^3(y)L_{x,z}[g(x,z)]|_{z=f(y)}$.

[DLL]

Да, именно этот результат и получается с помощью группового анализа.
Собственно таким образом было и получено решение зависящее от двух произвольных функций:
1) Вначале Maple угадывает решение $g(x,y) = F_1(C_1 x + C_2 y)$.
2) Далее, оно расширяется до $g(x,y) = F_1(C_1 x + F_2(y))$.