Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Есть дифференциальное уравнение в частных производных на функцию :
Для него удается угадать решение (зависящее от двух произвольных функций одной переменной):
Старшая производная в уравнении - третья. Общее решение будет зависеть от трех произвольных функций (это можно доказать с помощью алгебраической техники).
Вот собственно хотелось бы его и найти, возможно воспользовавшись имеющимся решением. Было бы интересно услышать какие-нибудь соображения на этот счет...
DLL
Re: Общее решение одного УРЧП
22.04.2014, 12:22
Последний раз редактировалось DLL 22.04.2014, 12:22, всего редактировалось 1 раз.
Угаданное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка:
Гипотетически исходное уравнение должно переписываться в терминах последнего дифференциального полинома. Но как это сделать непонятно. Буду рад услышать любые предположения или гипотезы...
Vince Diesel
Re: Общее решение одного УРЧП
22.04.2014, 13:44
Последний раз редактировалось Vince Diesel 22.04.2014, 13:59, всего редактировалось 2 раз(а).
Чуть более общее решение: . Оно удовлетворяет уже уравнению
Если искать решение в виде , то получается ОДУ на :
DLL
Re: Общее решение одного УРЧП
23.04.2014, 13:00
Последний раз редактировалось DLL 23.04.2014, 13:00, всего редактировалось 1 раз.
Ага, хорошо - решение увеличивается на 1 константу. Правда, до еще 1 функции долго шагать придется
Vince Diesel
Re: Общее решение одного УРЧП
23.04.2014, 18:02
Не специалист, но систематический подход тут — групповой анализ ДУ. В мейпле есть целый пакет для нахождения симметрий, частных решений и. т.п.
DLL
Re: Общее решение одного УРЧП
24.04.2014, 14:47
Да, собственно "угаданное" решение и было таким образом построено...
Vince Diesel
Re: Общее решение одного УРЧП
25.04.2014, 17:02
Последний раз редактировалось Vince Diesel 25.04.2014, 17:41, всего редактировалось 1 раз.
Появление везде произвольной функции от наводит на мысль, что если — решение, то мб — тоже решение. И действительно, если обозначить через оператор в левой части, непосредственно проверяется, что .
DLL
Re: Общее решение одного УРЧП
02.05.2014, 11:31
Последний раз редактировалось DLL 02.05.2014, 11:32, всего редактировалось 1 раз.
Да, именно этот результат и получается с помощью группового анализа. Собственно таким образом было и получено решение зависящее от двух произвольных функций: 1) Вначале Maple угадывает решение . 2) Далее, оно расширяется до .