2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Общее решение одного УРЧП
Сообщение16.04.2014, 17:35 
Аватара пользователя
Есть дифференциальное уравнение в частных производных на функцию $g(x,y)$:
$2 g_y g_{xxy} g_{xx} g_{xy} - g_y g_{yyx} g_{xx}^2 - g_y g_{xxx} g_{xy}^2 + g_{xx}^2 g_{xy} g_{yy} - g_{xx} g_{xy}^3 = 0.$

Для него удается угадать решение (зависящее от двух произвольных функций одной переменной):
$g(x,y) = F_1 (x + F_2(y)).$

Старшая производная в уравнении - третья. Общее решение будет зависеть от трех произвольных функций (это можно доказать с помощью алгебраической техники).

Вот собственно хотелось бы его и найти, возможно воспользовавшись имеющимся решением. Было бы интересно услышать какие-нибудь соображения на этот счет...

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение22.04.2014, 12:22 
Аватара пользователя
Угаданное решение $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y)).$ удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка: $-g_x g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Гипотетически исходное уравнение должно переписываться в терминах последнего дифференциального полинома. Но как это сделать непонятно.
Буду рад услышать любые предположения или гипотезы...

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение22.04.2014, 13:44 
Чуть более общее решение: $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x$. Оно удовлетворяет уже уравнению $-(g_x-C_2) g_{xy} + g_y g_{xx} = 0.$

Если искать решение в виде $g(x,y) = F_1 (C_{1} x + F_2(y))+C_2x^2+ C_3 x$, то получается ОДУ на $F_1$:
$$
2 {C_2}  F_1{}^{(3)}( x) F_1'(x)-C_1^2 F_1''( x){}^3-2 {C_2} F_1''( x){}^2=0.$$

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение23.04.2014, 13:00 
Аватара пользователя
Ага, хорошо - решение увеличивается на 1 константу.
Правда, до еще 1 функции долго шагать придется :D

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение23.04.2014, 18:02 
Не специалист, но систематический подход тут — групповой анализ ДУ. В мейпле есть целый пакет для нахождения симметрий, частных решений и. т.п.

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение24.04.2014, 14:47 
Аватара пользователя
Да, собственно "угаданное" решение и было таким образом построено...

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение25.04.2014, 17:02 
Появление везде произвольной функции от $y$ наводит на мысль, что если $g(x,y)$ — решение, то мб $g(x,f(y))$ — тоже решение. И действительно, если обозначить через $L[g]$ оператор в левой части, непосредственно проверяется, что $L[g(x,f(y))]=f'^3(y)L_{x,z}[g(x,z)]|_{z=f(y)}$.

 
 
 
 Re: Общее решение одного УРЧП
Сообщение02.05.2014, 11:31 
Аватара пользователя
Да, именно этот результат и получается с помощью группового анализа.
Собственно таким образом было и получено решение зависящее от двух произвольных функций:
1) Вначале Maple угадывает решение $g(x,y) = F_1(C_1 x + C_2 y)$.
2) Далее, оно расширяется до $g(x,y) = F_1(C_1 x + F_2(y))$.

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group