Площадь сегмента окружности (приближенно)

[Keter]

$\sigma \approx \frac{2}{3}ah$ -- формула для приближенного вычисления площади сегмента окружности, где $a$ -- длина хорды, на которую опирается дуга, $h$ -- высота сегмента.

Такую формулу несложно вывести, используя разложение функции по Маклорену.

(Оффтоп)

Пусть $r$ -- радиус данной окружности, а $2\xi$ -- угол дуги. Тогда площадь сегмента $\sigma = \frac{r^2}{2}(2\xi-\sin 2\xi).$
Ищем $\sigma \approx f(a,h)$ в виде $\lambda ah.$ Легко видеть, что $a=2r\sin \xi$ и $h=r(1-\cos \xi).$ Откуда, $ah=r^2(2\sin \xi - \sin 2\xi) \approx r^2\bigg(\dfrac{6\xi^3}{3!}-\dfrac{30\xi^5}{5!}\bigg).$ Аналогично, $\sigma \approx r^2\bigg(\dfrac{4\xi^3}{3!}-\dfrac{16\xi^5}{5!}\bigg).$
Далее, лучше всего выбрать $\lambda$ так, чтобы $\sigma-\lambda ah \approx r^2 k\xi^5,$ то есть $\lambda = \frac{2}{3}.$ Получим, $\sigma-\frac{2}{3}ah \approx r^2\frac{4\xi^5}{5!}.$ Значит, $\sigma \approx \frac{2}{3}ah.$

Вопрос. Можно ли получить эту формулу, не пользуясь разложением функции в ряд? То есть, использую неравенства или более хитрые соображения.

У меня никак не получается. Пробовал рассматривать предел для отношение $\sigma$ к $\lambda ah$ при $\xi \to 0,$ используя правило Лопиталя, но это даёт только $\lambda=\frac{1}{2}.$ Неравенств, приводящих к нужному результату, тоже не нашел. Но такое чувство, что что-то должно быть.

[gris]

Двукратное повторение правила Лопиталя для предела $\dfrac {x-\sin x}{x^3}$ эту формулу даст, но это то же самое разложение в ряд или нахождение третьей производной для синуса. А Вы хотели бы получить эту формулу элементарными методами?

Вот такая идея: по Вашему примеру предполагаем, что такая формула $S=\lambda ah$ есть. Разобъём сегмент на две равные части. Длину маленькой хорды вычислить легко: $b=\sqrt{a^2/4+h^2}$. Может быть как-то получить и выражение для высоты половинки сегмента с помощью подобия треугольников? Тогда площадь сегмента получится прибавлением площади треугольника $S_{\triangle}=0.5 ah$ плюс площади маленьких сегментов.
Организовать дальнейшее дробление? Реккурентная формула? К сожалению, не могу развить дальше

[ewert]

Keter в сообщении #857896 писал(а):

Можно ли получить эту формулу, не пользуясь разложением функции в ряд?

Эта формула мгновенно следует из того, что любая кривая в первом (в смысле во втором) приближении -- это парабола. Однако ни на кого ранее Архимеда, боюсь, сослаться тут не удастся.

[gris]

Симпсон?
А, точно, через касательные и прогрессию.

[ewert]

Нет, Архимед. И у него были не касательные, а вписанные ломаные.

[gris]

Симпсона я имел в виду просто так. Ведь получается как раз эта формула при разбиении на 2 интервала.
А про Архимеда вспоминается что-то из Кванта. Вроде бы там проводились касательные? Всё равно же производные в завуалированном виде присутствуют?
Или для квадрик всё было сделано без разных там пределов?
Оффтоп: Интересно, есть ли продолжение Евклидовой аксиоматической геометрии на кривые второго порядка? Имеется в виду этакий школьный курс. Конечно, отдельные свойства и построения с помощью гвоздей и верёвки, а также разные отражения в фокусы помнятся, но вот насчёт площадей как-то смутно.

[ewert]

gris в сообщении #858117 писал(а):

Вроде бы там проводились касательные?

Там утверждалось, что площадь сегмента параболы равна 4/3 площади вписанного треугольника. И доказывалось это последующими довписываниями треугольников в остающиеся подсегменты с выходом, да, на геометрическую прогрессию.

Но это было две тыщи с лишним лет назад. А сегодня надо просто проинтегрировать, после чего оказывается, что парабола делит прямоугольник в соотношении 2:1, вот и всё.

[Keter]

gris в сообщении #858029 писал(а):

Тогда площадь сегмента получится прибавлением площади треугольника $S_{\triangle}=0.5 ah$ плюс площади маленьких сегментов.

Я вот с самго начала почему-то пытался связать площадь сегмента с площадью треугольника, построенного на хорде с выстой $\frac{4}{3}h.$ Но ничего толкого не получил. Хотя сейчас уже понял, что, построив касательные, получим треугольник с высотой $2h$, а далее, по Архимеду, как для параболы, всё легко.

gris в сообщении #858029 писал(а):

Двукратное повторение правила Лопиталя для предела $\dfrac {x-\sin x}{x^3}$ эту формулу даст

Почему именно такой предел?

[gris]

Пардон, трёхкратное. Но это то же самое нахождение очередного члена в ряду Тейлора для синуса. Понятно, что результат верный с точностью $o(\xi^4)$ и любые корректные методы, будь то определённое интегрирование с последующим разложением в ряд, формула Симпсона, неопределённый коэффициент в сочетании с дифференцированием и т.д. дадут именно эту формулу.

Но можно ли доказательно получить её элементарными методами? Я сомневаюсь. Ведь для параболы это точная формула, а для окружности приближённая. Элементарные методы дают только точные формулы, а приближение (разумеется, с доказанной оценкой точности в предельных окрестностях) это уже дальше по курсу.

И есть сомнение в целесообразности такого получения. В математической истории Великие часто получали эвристические результаты, когда ещё соответствующие методы не были разработаны. Но при наличии этих методов это разве что забава для Любителя. Впрочем, У Вас могут быть свои соображения

[Keter]

Вот gris предложил такую идею: среднее геометрическое $ah/2$ и $8ah/9$ равняется $2ah/3$ и среднее гармоническое $ah/2$ и $ah$ равняется $2ah/3.$

Из того, что $\dfrac{16}{25ah}<\sigma<\dfrac{25ah}{16},$ ведь не следует, что $\sigma \approx \sqrt{\frac{ah}{2}\cdot \frac{8ah}{9}}=\frac{2}{3}ah$ ?
Никак не могу понять, почему же среднее гармоническое такое. Как это геометрически связано для этих площадей...?

(Оффтоп)

Пять минут назад меня вынесло. Попробовал нарисовать график $\frac{1}{t}=f(s),$ и типа из 0 в a/2 переместился объект за время h..., скорости будут равняться площадям под соотв. прямыми. А средняя скорость - ср. гармоническое двух скоростей. полный бред, ничего не доказывает.

[TOTAL]

gris в сообщении #858029 писал(а):

Вот такая идея: по Вашему примеру предполагаем, что такая формула $S=\lambda ah$ есть. Разобъём сегмент на две равные части. Длину маленькой хорды вычислить легко: $b=\sqrt{a^2/4+h^2}$. Может быть как-то получить и выражение для высоты половинки сегмента с помощью подобия треугольников? Тогда площадь сегмента получится прибавлением площади треугольника $S_{\triangle}=0.5 ah$ плюс площади маленьких сегментов.
Организовать дальнейшее дробление? Реккурентная формула? К сожалению, не могу развить дальше

Площадь сегмента равна площади треугольника плюс площади двух маленьких сегментов: $S=ah/2+2 \cdot S/8$
(Высота сегмента пропорциональна квадрату хорды.)

[gris]

Keter
Совершенно верно угадали! Я пару раз упоминал среднее гармоническое на форуме, поэтому и привёл его в качестве примера. Мне кажется, что это простое забавное совпадение. Всегда можно отыскать некоторое среднее из мажоранты и миноранты, которое приближает лучше чем они, но никакой гарантии того, что конкретное среднее даёт во всех случаях необходимую степень в асимптотике, нет. К сожалению, я не могу вот так, на лету сообразить, а копаться времени и сил нету.

[Keter]

TOTAL, как Вам удалось получить, что площадь маленького сегмента $S_l \approx S/8$ ?

[Keter]

Доказал вот такое неравенство: $0<\sigma -\dfrac{2}{3}ah \le \dfrac{ah^2}{3(r-h)}.$

[TOTAL]

Keter в сообщении #860091 писал(а):

TOTAL, как Вам удалось получить, что площадь маленького сегмента $S_l \approx S/8$ ?

Высота сегмента пропорциональна квадрату хорды. Маленькая хорда в два раза короче большой хорды. (Это все при маленьких размерах.) Поэтому формула вида $kah$ даст в восемь раз меньшую площадь маленького сегмента.