Перпендикулярность многомерных плоскостей

[Kink]

Задача:
Даны плоскости: $\pi^1: A=(0,2,-1,1), a=(2,0,2,0)$ и
$\pi^3: B=(0,0,0,0), b_1=(3,0,0,0), b_2=(1,2,-2,2), b_3=(-3,1,1,-1)$.
Через прямую $\pi^1$ провести плоскость $\pi^2$, перпендикулярную плоскости $\pi^3$.

Если провести плоскость через прямую, направляющий вектор прямой будет входить в базис ЛПП плоскости.
Многомерные плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их линейные подпространства, то есть, как я понимаю, каждый вектор базиса одной плоскости, скалярно умноженный на каждый вектор другой плоскости, даёт нулевой вектор. Но тут $ab_1=6, ab_2=-4, ab_3=-4$. Я что-то упускаю?

[Otta]

Вы проверяете, что исходные подпространства ортогональны? Зачем?

[Kink]

Otta в сообщении #857273 писал(а):

Вы проверяете, что исходные подпространства ортогональны? Зачем?

Если провести плоскость через прямую, направляющий вектор прямой будет входить в базис ЛПП плоскости.

[Otta]

Может входить.
Но отвлекитесь. Пусть у Вас есть плоскость, двумерная, в трехмерном пространстве. Горизонтальная, чтобы легче было представить дальнейшее. Стол. Возьмите ручку и поставьте ее на стол неортогонально столу. Это будет прямая. Можно ли провести плоскость через эту ручку так, чтобы эта плоскость была перпендикулярна столу?

[Kink]

Otta в сообщении #857280 писал(а):

Может входить.
Но отвлекитесь. Пусть у Вас есть плоскость, двумерная, в трехмерном пространстве. Горизонтальная, чтобы легче было представить дальнейшее. Стол. Возьмите ручку и поставьте ее на стол неортогонально столу. Это будет прямая. Можно ли провести плоскость через эту ручку, чтобы она была перпендикулярна столу?

Да, действительно, осознал.

Тогда
$\begin{cases} 3x_1=0\\ x_1+2x_1-2x_3+2x_4=0\\ -3x_1+x_2+x_3-x_4=0 \end{cases}$

Её решение: $x = (0, 0, 1, 1)\cdot\operatorname{const}$.
Т.е. $\pi^2: A=(0,2,-1,1), a_1=(1,0,1,0), a_2=(0,0,1,1)$?

[Otta]

Да, так.

[Kink]

Спасибо.

[svv]

Kink в сообщении #857268 писал(а):

Многомерные плоскости перпендикулярны, если перпендикулярны их линейные подпространства, то есть, как я понимаю, каждый вектор базиса одной плоскости, скалярно умноженный на каждый вектор другой плоскости, даёт нулевой вектор.

Назовём такую перпендикулярность «сильной перпендикулярностью». Тоже хорошее и полезное понятие.

А смогли бы Вы дать определение «слабой перпендикулярности» плоскостей — в смысле, в котором перпендикулярны плоскости $\pi^2$ и $\pi^3$ в Вашей задаче, или $Oxy$ и $Oxz$ в $\mathbb R^3$ ?

[Munin]

Я даже три вида перпендикулярности могу придумать:
- как прямая и прямая в трёхмерном пространстве;
- как прямая и плоскость в трёхмерном пространстве;
- как плоскость и плоскость в трёхмерном пространстве.

Вот только зачем их разными словами называть? :-)

[svv]

Первые два примера схожи в том, что соответствующие $n$-плоскостям подпространства ортогональны. А в третьем — не ортогональны, но ... дальше будет уже подсказка.

[Kink]

svv в сообщении #857328 писал(а):

А смогли бы Вы дать определение «слабой перпендикулярности» плоскостей — в смысле, в котором перпендикулярны плоскости $\pi^2$ и $\pi^3$ в Вашей задаче, или $Oxy$ и $Oxz$ в $\mathbb R^3$ ?

Так как $\pi^3$ в данном случае - гиперплоскость, то её сопряженной многомерной плоскостью будет прямая, а она должна быть перпендикулярна сопряженной многомерной плоскости к $\pi^2$?
А если бы нужно было найти критерий перпендикулярности двумерных плоскостей в четырехмерном пространстве, это бы уже не подошло...

[svv]

Я бы так определил: подпространства $A$ и $B$ слабо перпендикулярны, если существуют такие подпространства $A', B'$, что
$A=(A\cap B)\oplus A'$
$B=(A\cap B)\oplus B'$
$A'\perp B$
$B'\perp A$

Надо ещё потребовать, чтобы «ортогональные» части не состояли лишь из нуль-вектора:
$A'\neq\{0\}$
$B'\neq\{0\}$

[ewert]

svv в сообщении #857452 писал(а):

$A=(A\cap B)\oplus A'$
$B=(A\cap B)\oplus B'$
$A'\perp B$
$B'\perp A$

Короче говоря: если ортогональные дополнения каждого из подпространств к их пересечению ортогональны друг другу.

Или ещё короче: если ортопроекторы на эти подпространства коммутируют.

Но вообще задачка странная. Нет, само-то по себе определение вполне естественно; но я чего-то не помню, чтобы оно где-нибудь активно продвигалось.