Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений

[vicvolf]

Deggial в сообщении #1041145 писал(а):

Ветка Асимпт. плотность решений диофантовых уравнений выделена в Пургаторий по причине тривиальности результата, несоразмерного количества букв и бесперспективности дальнейшего обсуждения

Рассмотрим диофантовы уравнения, системы диофантовых уравнений с позиции количества их решений в области натуральных чисел, плотности и асимптотической плотности этих решений, вероятности, что кортеж из k- натуральных чисел является решением диофантового уравнения или системы диофантовых уравнений.
Под диофантовом уравнением от k-переменных в данном случае понимается уравнение вида:
$F(x_1,...x_k)=0$, (20)
где все переменные $x_i$ принимают одновременно значения из области натуральных чисел.
Диофантово уравнение $x_2=-x_1$ имеет ,бесконечно много решений в области целых чисел, но не имеет решений в области натуральных чисел, так как, переменные $x_1,x_2$ не принимают одновременно значения в области натуральных чисел.
Диофантово уравнение $x_2=\ln(x_1)$ имеет одно решение в области целых чисел - $x_1=1,x_2=0$, но не имеет решений в области натуральных чисел.
Под системой диофантовых уравнений понимается система уравнений вида:
$F_1(x_1,...x_k)=0;...F_m(x_1,...x_k)=0$, (21)
где $F_i(x_1,...x_k)=0$ - i-ое диофантово уравнение вида (20) и $1<m<k$.
В случае, когда одну из переменных в диофантовом уравнении (20) можно выразить явно, то данное уравнение можно записать в виде:
$x_i=f(x_1,...x_{i-1}, x_{i+1},...x_k)$, (22)
где $f$ - функция, принимающая значения из области натуральных чисел.
Переменные $x_1,...x_{i-1}, x_{i+1},...x_k$ в (22) являются независимыми переменными и могут принимать любые значения из области натуральных чисел, а $x_i$ - зависимая переменная, принимающая значениt только функции $f$.
Предположим, что $k-1$ независимые переменные в (22) принимают значения из $A$, где ${A=1,2,...N}$ тогда количество этих значений равно $N^{k-1}$ (23).
Так как $f$ является функцией - сюръективным отображением, то количество решений диофантового уравнения (22) в области (23) не превосходит $N^{k-1}$, т.е. $\pi(f,1,N) \leq N^{k-1}$ (24).
Количество решений диофантового уравнения (22) в области (23) равно $N^{k-1}$, когда функция $f$ инъективна, так как в этом случае функция $f$ является биективным (взаимоодназначным) отображением.
Примером такого диофантового уравнения является уравнение $x_2=x_1$ (25). Решения диофантового уравнения (25) находятся на главной диоганали: $(1,1);(2,2);...(N,N)$, т.е имеется ровно N решений,что соответствует (24) для k=2.
В случае, когда функция $f$ не инъективна в $A^k$, количество решений диофантово уравнения (22) меньше $N^{k-1}$. Уточним, что функция может быть инъективна на всем пространстве k-ого декартового произведения натурального ряда и не быть инъективна в $A^k$. Примером этого являются диофантовы уравнения $x_2=2x_1$, $x_2=x_1^2$, которые имеют меньше N решений в $A^2$.
На основании (24) вероятность натурального k-кортежа $<x_1,...x_k>$ являться решением диофантового уравнения (22) в области $A^k$, которая равна плотности решений данного уравнения, не превосходит:
$P(f,1,N)=\pi(f,1,N)/N^k \leq N^{k-1}/N^k=1/N$.(26)
Из (26) вытекает, что асимптотическая плотность решений диофантового уравнения (22) равна:
$P(f,1,\infty)= \lim \limits_{N \to \infty} {\pi(f,1,N)/N^k}=0$. (27)

Продолжение следует.

[vicvolf]

В формулах (24), (26), (27) последнего сообщения я использовал для наглядности старые обозначения, чтобы показать интервал.
Теперь напишу эти формулы в принятых в теме обозначениях:
$\pi(B_N) \leq N^{k-1}$ (24).
$P(B_N)=\pi(f,1,N)/N^k \leq N^{k-1}/N^k=1/N$.(26)
$P'(B)= \lim \limits_{N \to \infty} {\pi(f,1,N)/N^k}=0$. (27)

Продолжу

Из формулы (26) вытекает утверждение.

Утверждение 5
Асимптотическая плотность решений диофантового уравнения вида (22) равна 0.

Таким образом, асимптотическая плотность решений диофантового уравнения (22) относится к случаям 1, 2 для асимптотической плотности, рассмотренным ранее.
Интересно, что асимптотическая плотность решений диофантова уравнения (22) значительно меньше асимптотической плотности взаимнопростых чисел, которая рассматривалась ранее и относится к случаю 3.

Рассмотрим диофантово уравнение (22) для двух переменных.

Известно, что если функция $f$ в уравнении (22) иньективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, то для нее существует обратная функция $f^{-1}$. Отсюда вытекает следующее утверждение.

Утверждение 6
Если функция $f$, в диофантовом уравнении (22) для двух переменных, иньективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, то количество решений диафантово уравнения $x_2=f^{-1}(x_1)$ в области $A^2$, где $A=1,2,...N$, равно количеству решений уравнения (22) в той же области.

Доказательство
Решения обоих уравнений расположены симметричны относительно главной диаганали в области $A^2$, поэтому количество решений обоих уравнений равны.

Пример.
Рассмотрим диофантово уравнение $x_2=2^{x_1}$ в $A^2$ (28).
Если $x_1$ -натуральное число, то $x_2$- натуральное число. Для того, чтобы $x_2 \leq N$ требуется, чтобы $x_1 \leq \log_2(N)$.
Таким образом, количество натуральных кортежей решений $<x_1,x_2>$ уравнения (28) равно $\pi(B_N)=\log_2(N)$, т.е количество решений уравнения (28) в $A^2$ меньше N.

Рассмотрим диофантово уравнение $x_2=\log_2(x_1)$ в $A^2$ (29).
На основании утверждения 6 количество решений данного уравнения в $A^2$ равно $\pi(B_N)=\log_2(N)$.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Продолжим рассмотрение диофантового уравнения (22) в области $A^2$.

Утверждение 7
Пусть функция $f$ иньективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, а переменная $x_1$ принимает все натуральные значения от 1 до N, тогда количество решений диафантового уравнения $x_2=f(x_1)$ в области $A^2$, где $A=1,2,...N$, равно $[f^{-1}(N)]$, (30) где [ ] - целое значение с недостатком.

Доказательство

Так как переменная $x_1$ по условию принимает все натуральные значения от 1 до N и функция f инъективна на декартовом произведении множеств натуральных чисел, то в данной области существует обратная функция $f^{-1}$.
В этом случае переменная $x_2$ принимает значения от $f(1)$ до $[f^{-1}(N)]$, т.е. $[f^{-1}(N)]$ значений ч.т.д.

Примеры.
Количество решений диофантового уравнение $x_2=2x_1$ в области $A^2$ на основании утверждения 7 равно $[N/2]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=0,5x_1$ в области $A^2$ на основании утверждения 6 равно $[N/2]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=x_1^2$ в области $A^2$ на основании утверждения 7 равно $[\sqrt{N}]<N$, что соответствует (24).

Количество решений диофантового уравнение $x_2=\sqrt(x_1)$ в области $A^2$ на основании утверждения 6 равно $[\sqrt{N}]<N$, что соответствует (24).

Теперь рассмотрим диофантовое уравнение (20) - $F(x_1,...x_k)=0$ в случае, если ни одну из переменных нельзя выразить в явном виде.
В этом случае в уравнении нет независимых, точнее сказать, свободных переменных, которые могут принимать бесконечное множество значений. Поэтому количество решений данного диофантового уравнения меньше, чем у уравнения (22).
Следовательно, для количества решений диофантового уравнения $F(x_1,...x_k)=0$ справедливо неравенство $\pi(B_N)<N^{k-1}$ (31), для плотности его решений - $P(B_N)<1/N$ (32) и асимптотическая плотность решений данного уравнения, также как и для уравнения (22), равна 0.
Отсюда вытекает, что утверждение 5 можно обобщить и на диофантовое уравнение (20).

Диофантовое уравнение $F(x_1,...x_2)=0$ может вообще не иметь решений или иметь конечное число решений, т.е это случай 1 асимптотической плотности. Далее мы рассмотрим его более детально. Данное диофантовое уравнение может также иметь бесконечное число решений, но асимптотическая плотность этих решений, как говорилось выше, равна 0, т.е. это случай 2 асимптотической плотности. Далее мы также рассмотрим этот случай более подробно.

Продолжение следует.

[vicvolf]

Подробное рассмотрение диофантовых уравнений вида $F(x_1,...x_2)=0$ начнем с уравнения с одним неизвестным.

Пусть дано уравнение:
$a_0x^m+a_1x^{m-1}+...+a_{m-1}x+a_m=0$, (33)
где m - натуральное число, а $a_0,...a_m$ - целые числа, причем $a_m$ отлично от нуля.
Известно, что все натуральные решения уравнения (33) являются делителями свободного члена $a_m$, поэтому количество таких решений конечно. Следовательно, асимптотическая плотность решений данного уравнения равна 0 (случай 1 асимптотической плотности).

Примеры.
Уравнение $x^8+x^7+x+1=0$ не имеет решений в области натуральных чисел.

Уравнение $x^5-5x^4-3x^3+15x^2+2x-10=0$ имеет только два решения в области натуральных чисел: 1 и 5.

Перейдем к рассмотрению линейного диофантового уравнения с любым числом переменных.

В работе Серпинского "О решении уравнения в целых числах" показано, что необходимым и достаточным условием, чтобы линейное уравнение $a_1x_1+a_2x_2+...+a_kx_k=b$, (34) (где $a_1, a_2,...a_k, b$ -целые числа) было разрешимо в целых числах является то, чтобы b делился на наибольший общий делитель коэффициентов $a_1, a_2,...a_k$.

Для начала рассмотрим уравнение $a_2x_2-a_1x_1=b$, (35) где $a_1, a_2$ - натуральные числа.
В случае, если уравнение (35) разрешимо в целых числах, то b делится на наибольший общий делитель чисел $a_1, a_2$. Тогда, если $x_{10}, x_{20}$ есть решения уравнения (35), то при любом натуральном t имеем:
$a_2(x_{20}+a_1t)-a_1(x_{10}+a_2t)=b$.
Поскольку $a_1, a_2$ - натуральные числа и последовательности $x_{20}+a_1t, x_{10}+a_2t$ являются строго возрастающими, то начиная с некоторого t решения уравнения (35) являются натуральными числами.
Учитывая, что $a_1, a_2$ не менее 1, то количество решений уравнения (35) в области $A^2$, где $A=1,2,..N$ меньше N и асимптотическая плотность решений уравнения равна 0 (случай 2).

Пример.
Уравнение $2x_1-3x_2=5$ имеет следующие решения в области натуральных чисел:
$x_{10}=1, x_{20}=4$
$x_{11}=3, x_{21}=7$
...
$x_1=2t+1, x_2=3t+4$.
Таким образом, количество решений уравнения в области $A^2$ равно:
$\pi(B_N)=[(N-4)/3]<N$, где [] - целая часть числа с недостатком.


Продолжение следует.

[vicvolf]

Добавлю, что b в уравненни (35) также является натуральным числом.

Иначе обстоит дело с другим диофантовым линейным уравнение с двумя переменными:
$a_1x_1+a_2x_2=b$, (36) где $a_1, a_2, b$ - натуральные числа.
Допустим, что уравнение (36) разрешимо в целых числах. Это значит, что b делится на наибольший общий делитель $a_1, a_2$ - d.
Разделим уравнение (36) на d и получим уравнение с взаино простыми $a_1, a_2$, поэтому будем далее рассматривать уравнение (36) с взаимнопростыми коэффициентами.
Если $b=a_1 \cdot a_2$, то уравнение (36) вообще не имеет натуральных решений, так как в противном случае было бы: $a_1x_1+a_2x_2=a_1a_2$ и значит $a_1x_1=a_2(a_1-x_2)$ и так как числа $a_1, a_2$ взаимно простые, то отсюда следовало бы, что $x_1$ делится на $a_2$ и значит $x_1 \geq a_2$, откуда $a_1x_1+a_2x_2 \geq a_1a_2$, вопреки тому, что $a_1x_1+a_2x_2=a_1a_2$.
Уравнение (36) имеет конечное число решений в натуральных числах, если $b>a_1a_2$, так как в этом случае существуют натуральные числа $u, v$, что решение уравнения (36) можно записать в виде: $x_1=u-a_1t , x_2=a_1t-v$, где $t =0, 1, 2.....$ (случай 1 асимптотической плотности).
В общем случае уравнение (34), если $a_1,...a_k, b$ - натуральные числа и число b делится на наибольший общий делитель коэффициентов $a_1,... a_k$, имеет конечное число решений, так как должно выполняться условие $x_i \leq b$ (случай 1 асимптотической плотности).

Продолжение следует.

[vicvolf]

Естественно уравнение $a_1x_1+...+a_kx_k=b$, (37) где $a_1,...a_k, b$ - натуральные числа и число b делится на наибольший общий делитель коэффициентов $a_1,... a_k$ не имеет решений в натуральных числах, если $\sum_{i=1}^{k}{a_i}>b$, имеет одно решение в натуральных числах $x_1=1,...x_k=1$, если $\sum_{i=1}^{k}{a_i}=b$, имеет более одного решения в натуральных числах, если $\sum_{i=1}^{k}{a_i}<b$.

Подведем итог в рассмотрении линейного уравнения (34): $a_1x_1+...+a_kx_k=b$, где коэффициенты $a_i$ и b - целые числа:
1. Если число b не делится на наибольший общий делитель $a_1,...a_k$, то уравнение (34) не имеет целых и соответственно натуральных решений.
2. Если $a_1,...a_k, b$ - положительные целые числа (натуральные числа) и число b делится на наибольший общий делитель коэффициентов $a_1,... a_k$, то получаем уравнение (37), которое имеет конечное число решений. (случай 1 асимптотической плотности).
3. Если среди коэффициентов уравнения $a_1,... a_k$ имеются отрицательные целые числа, то уравнение может иметь бесконечное число решений (случай 2 асимптотической плотности). Например, уравнение (35).

Продолжение следует.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #863984 писал(а):

имеет более одного решения в натуральных числах, если $\sum_{i=1}^{k}{a_i}<b$.

Это наивное представление.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #863991 писал(а):

vicvolf в сообщении #863984 писал(а):

имеет более одного решения в натуральных числах, если $\sum_{i=1}^{k}{a_i}<b$.

Это наивное представление.

Конечно при дополнительном условии, что b делится на наибольший общий делитель коэффициентов: $a_1,...a_k$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #864081 писал(а):

Конечно при дополнительном условии, что b делится на наибольший общий делитель коэффициентов: $a_1,...a_k$.

Разумеется, при этом условии. Неужели Вы сами не видите контрпримеров?

[vicvolf]

Спасибо! Вижу.

[vicvolf]

Количество натуральных решений уравнения (20): $F(x_1,..x_k)=0$ тесно связано с количеством решений в целых числах данного уравнения.
Если уравнение (20) не имеет решений в целых числах, то оно не имеет решений в натуральных числах.
Если уравнение (20) имеет конечное количество решений в целых числах, то оно либо не имеет решений в натуральных числах, либо имеет конечное количество решений в натуральных числах.
Если уравнение (20) имеет бесконечное число решений в целых числах, то возможны все варианты: бесконечное число решений, конечное число решений и отсутствие решений в области натуральных чисел.
Эти случаи были уже показаны для линейного уравнения. Они справедливы и для нелинейных уравнений.
Справедливо и обратное. Если уравнение (20) имеет решения в области натуральных числах, то оно естественно имеет решения в области целых чисел, количество которых может превосходить количество решений в области натуральных.
В подтверждение последнего утверждения разберем следующий пример.
Пусть дано уравнение $F(x_1^{2n_1}, x_2^{2n_2},..x_k^{2n_k})=0$, (38), где $n_1, n_2,..n_k$ - натуральные числа.
Если уравнение (38) имеет решение в области натуральных чисел: $x_{10}, x_{20},...x_{k0}$, то оно имеет еще $2^k-1$ решений в области целых чисел:
$-x_{10}, x_{20},...x_{k0}$, $x_{10}, -x_{20},...x_{k0}$, $x_{10}, x_{20},...-x_{k0}$, $-x_{10}, -x_{20},...x_{k0}$,...$x_{10}, x_{20},...-x_{k-10},-x_{k0}$, ...$-x_{10}, -x_{20},...-x_{k0}$.
Обратное естественно не справедливо. Например, уравнение $x_1^2+x_2^2=1$ имеет решения в области целых чисел: $x_{10}=0, x_{20}=1$; $x_{11}=0, x_{21}=-1$; $x_{13}=1, x_{23}=0$; $x_{14}=-1, x_{24}=0$. Но не имеет решений в области натуральных чисел.

Продолжим рассмотрение нелинейного уравнения (38) для частного случая - двух переменных второй степени.

[vicvolf]

Докажем, что для каждого натурального k, уравнение $x_1^2-x_2^2=k$ (39) имеет только конечное число решений в натуральных числах (случай 1 асимптотической плотности).

Доказательство
Предположим, что натуральные числа $x_1,x_2$ удолетворяют уравнению (39), где k-натуральное число. Тогда $x_1>x_2$, поэтому $x_1-x_2\geq 1$ и имеем $x_1^2- x_2^2=(x_1-x_2)(x_1+x_2)=k$, что дает $x_1+x_2 \leq k$ и, следовательно, $x_1<k$ и $x_2<k$.
Количество натуральных чисел, удолетворяющим двум последним неравенствам конечно, поэтому уравнение (39) имеет конечное число решений ч.т.д.

Докажем, что для каждого натурального k, уравнение $x_1^2+x_2^2=k$ (40) имеет только конечное число решений в натуральных числах (случай 1 асимптотической плотности).

Доказательство
Предположим, что натуральные числа $x_1,x_2$ удолетворяют уравнению (40), где k-натуральное число. Так как $x_1^2+x_2^2=k$ и учитывая, что минимальное значение $x_1,x_2$ равно 1, то должны выполняться неравенства $x_1\leq [\sqrt{k-1}]$ и $x_2\leq [\sqrt{k-1}]$, где [] - целое значение числа с недостатком. Количество натуральных чисел, удолетворяющим двум последним неравенствам конечно, поэтому уравнение (40) имеет конечное число решений ч.т.д.

Из данного доказательства вытекает алгоритм нахождения решений уравнения (40) для небольших значений k.
Необходимо проверить в качестве решений все кортежи натуральных чисел: $(1,1), (1,2)...(1, [\sqrt{k-1}],(2,1),...(2, [\sqrt{k-1}]),...([\sqrt{k-1}],[\sqrt{k-1}])$.

Количество проверок можно уменьшить, если учесть, что многочлен $x_1^2+x_2^2$ является симметрическим, поэтому кортежи решений данного уравнения расположены симметрично относительно главной диагонали $x_1=x_2$. Следовательно, достаточно проверить только кортежи $<x_1,x_2>$, расположенные выше или на главной диагонали, т.е только для случая $x_2 \geq x_1$. Если в данной области существуют натуральные решения, то решениями в области натуральных чисел будут также являться кортежи, симметричные относительной главной диагонали.

Рассмотрим пример решения уравнения (40). Дано уравнение $x_1^2+x_2^2=65$.

Значение $[\sqrt{k-1}]=8$. Поэтому, на основании описанного выше алгоритма, проверим все кортежи от $(1,1)$ до $(4,8)$ и найдем два решения: $(1,8)$ и $(4,7)$. Решениями в области натуральных чисел также являются симметричные относительно главной диагонали кортежи: $(8,1)$ и $(7,4)$.

Когда я говорю о конечном количестве решений любого диофантового уравнения, то сюда также относится случай, когда количество решений уравнения равно 0, т.е. отсутствие решений диофантового уравнения.
Например, легко убедиться, что для уравнения (40) отсутствуют натуральные решения при $k=1,3,4,6,7,9..$.

Продолжение следует.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #865181 писал(а):

Докажем, что для каждого натурального k, уравнение $x_1^2-x_2^2=k$ (39) имеет только конечное число решений в натуральных числах (случай 1 асимптотической плотности).

vicvolf в сообщении #865181 писал(а):

Докажем, что для каждого натурального k, уравнение $x_1^2+x_2^2=k$ (40) имеет только конечное число решений в натуральных числах (случай 1 асимптотической плотности).

Это же очевидно и общеизвестно.

[vicvolf]

Да, это известные факты. Я привел их доказательства, так как меня интересует их метод, который дальше используется в работе. Наверно надо сделать такое пояснение.

[vicvolf]

Очевидным и наглядным (хотя не встречал в литературе) является геометрическое доказательство оценки количества решений диофантового уравнения второго порядка от двух переменных (можно обобщить и на большее число переменных).

Бедем исходить из того, что решениями любого диофантового уравнения второго порядка от двух переменных в области целых (натуральных) чисел являются целочисленные (натуральные) координаты на кривой второго порядка: $F(x_1,x_2)=a_{11}x_1^2+a_{22}x_2^2+2a_{12}+2a_{13}x_1+2a_{23}x_2+a_33=0$, (41) где все $a_{ij}$ - целые числа.

Сначала рассмотрим невырожденные случаи кривых 2-ого порядка. Вырожденные случаи рассмотрим позже.

Напомню, что существует 3 типа невырожденных кривых 2-ого порядка: эллипс (мнимый эллипс), гипербола, парабола.
Инвариантой, по которой можно определить тип невырожденной кривой второго порядка, является $D=a_{11}a_{22}-a_{12}^2$. (42)

Покажем,что диофантовое уравнение второго порядка от двух переменных переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2)=0$ задает эллипс, имеет конечное число решений (случай 1 асимптотической плотности).

Нанесем на плоскость прямоугольную координатную сетку, в узлах которой будут целые числа по осям $x_1, x_2$.
Прямые координатной сетки, перпендикулярные оси $x_1$ и параллельные оси $x_2$ будут пересекать эллипс в конечном числе точек, у которых значение координаты $x_1$ является целым числом. Естественно не во всех точках пересечения эллипса значение координаты $x_2$ будет также являться целым числом, поэтому число точек на эллипсе, где обе координаты являются целыми числами будет тем более конечно.

Примечание. Мнимый эллипс вообще не имеет ни одной вещественной точки, поэтому диофантовое уравнение второго порядка от двух переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2)=0$ задает мнимый эллипс, решений в целых (натуральных) числах не имеет. Будем считать это частным случаем конечного числа решений.

Пример.
Дано диофантовое уравнение $x_1^2+x_2^2-2x_1+4x_2+4=0$ (43). Требуется оценить количество целых (натуральных) решений уравнения (43).

Решение.
Для уравнения (43) значение инварианта $D=1 \cdot 1-0=1>0$, поэтому количество решений данного уравнения конечно. Действительно данное уравнение имеет 4 решения в области целых чисел: $(1,-1),(2,-2),(1,3),(0,-2)$.

Теперь покажем,что диофантовое уравнение второго порядка от двух переменных переменных, когда уравнение $F(x_1,x_2)=0$ задает гиперболу или параболу, может иметь бесконечное число решений.

Нанесем на плоскость прямоугольную координатную сетку, в узлах которой будут целые числа по осям $x_1, x_2$.
Прямые координатной сетки, перпендикулярные оси $x_1$ и параллельные оси $x_2$ будут пересекать гиперболу или параболу в бесконечном числе точек, у которых значение координаты $x_1$ является целым числом. Поэтому, если среди этих точек будет бесконечное число иметь целое значение координаты $x_2$, то уравнение (41) будет иметь бесконечное число решений в области целых (натуральных) чисел.

Напомню, что для гиперболы значение инварианта $D=a_{11}a_{22}-a_{12}^2<0$ (44). Для параболы значение инварианта $D=a_{11}a_{22}-a_{12}^2=0$ (45). Поэтому указанное выше утверждение можно сформулировать по-другому на основании (44) и (45).
Диофантовое уравнение второго порядка от двух переменных переменных (41) может иметь бесконечное число решений в области целых (натуральных) чисел, если для его коэффициентов выполняется условие: $D=a_{11}a_{22}-a_{12}^2\leq 0$ (46).

Пример.
Дано диофантовое уравнение $x_1^2+x_1-2x_2^2=0$ (46). Требуется оценить количество целых (натуральных) решений уравнения (46).

Решение.
Для уравнения (46) значение инварианта $D=1 \cdot (-2)-0=-2<0$ (гипербола), поэтому количество решений данного уравнения может быть бесконечно.
Легко убедиться, что уравнение (46) имеет решение (1,1).
Остальные решения находятся по формуле: $x_{1 n+1}=3x_{1 n}+4x_{2 n}+1, x_{2 n+1}=2x_{1 n}+3x_{2 n}+1$ (47). Следовательно, уравнение (46) действительно имеет бесконечное число решений.
Учитывая, что коэффициенты в последовательностях (47) больше 1, то количество решений в $A^2$, где $A=1,2,...N$, меньше N (случай 2 асимптотической плотности).

Продолжение следует.