О движении на растяжимом тросе

[DimaM]

Ingus в сообщении #857093 писал(а):

из закона сохранения энергии находим расстояние до точки А.
и все. задача решена. $F=-kr$
и закон сохранения момента имп. не нужен.

Так не получается из одного закона сохранения расстояние найти.

[nikvic]

Ingus в сообщении #857093 писал(а):

траектория очевидно эллипс

Траектория - "синусоида" между двумя концентрическими окружностями. Внутренняя известна, внешнюю предлагается найти.

[Munin]

nikvic в сообщении #857099 писал(а):

Траектория - "синусоида" между двумя концентрическими окружностями.

Только очень приближённо "синусоида". Потому что на самом деле, там упругий потенциал + центробежный.

[DimaM]

Munin в сообщении #857101 писал(а):

Только очень приближённо "синусоида".

Точно оно, по-моему, не решается (в смысле, получить уравнение траектории).

[ewert]

warlock66613 в сообщении #857083 писал(а):

Ответ сформулировал Oleg Zubelevich.

Ничего он не сформулировал. Кроме плана действий.

warlock66613 в сообщении #857083 писал(а):

Ровно в такой же форме ответ получается, например, в учебной квантомеханической задаче про прямоугольную яму конечной глубины.

Отнюдь. Это, конечно, учебная, но не задача (т.е. не для самостоятельного решения). Если же задача, то решать её предлагается в каком-то предельном случае.

-- Ср апр 30, 2014 11:21:32 --

Munin в сообщении #857101 писал(а):

Потому что на самом деле, там упругий потенциал + центробежный.

Вот так не стоит, иначе придётся ещё и Кориолиса приплетать.

DimaM в сообщении #857103 писал(а):

Точно оно, по-моему, не решается (в смысле, получить уравнение траектории).

Его и не нужно получать. Проблема в том, что даже и в обход траектории ответ в явном виде не получить (практически).

-- Ср апр 30, 2014 11:21:42 --

Ingus в сообщении #857093 писал(а):

траектория очевидно эллипс

Не эллипс.

Ingus в сообщении #857093 писал(а):

Но осадочек какой-то остался.. Где кубы?

А вот как только Вы попытаетесь решить задачу честно, т.е. честно выпишите систему из этих двух уравнений -- так и увидите.

[Ingus]

Если длину троса обозначить x, уравнение для нее будет :
$\ddot x=-\frac{k}{m}x+\frac{V^2 L^2}{x^3}$
Так честно?

[ewert]

Ingus в сообщении #857113 писал(а):

Так честно?

Нечестно, причём по трём причинам. Во-первых, икс -- это не длина троса, а удлиннение. Во-вторых, так дёшево к радиальному уравнению не перейдёшь. В-третьих, это и совершенно ни к чему -- нужны лишь законы сохранения.

[Ingus]

Munin в сообщении #857101 писал(а):

Только очень приближённо "синусоида". Потому что на самом деле, там упругий потенциал + центробежный.

Траектория в центральном поле упругого потенциала (центральная сила подчиняется закону Гука) - эллипс. А закон движения r(t) очень приближенно напоминает синусоиду.
Я правильно выразился?

[warlock66613]

(ewert)

Вот интересно, по-вашему, задачи Капицы - это не учебные задачи? Например такая: "С какой скоростью должен ехать автомобиль с проколотой шиной, чтобы она не сминалась?" Или вот ещё: "В металлическую трубу диаметром $1\text{ см}$ с толщиной стенок $5\text{ мм}$ ударила молния. В результате труба превратилась в сплошной штырь. Определить силу тока в молнии."

[DimaM]

Ingus в сообщении #857115 писал(а):

Траектория в центральном поле упругого потенциала (центральная сила подчиняется закону Гука) - эллипс.

Эллипс - когда потенциал $kr^2/2$. А в задаче $k(r-r_0)^2/2$, и тут вовсе не эллипс.

[ewert]

warlock66613 в сообщении #857117 писал(а):

Например такая: "С какой скоростью должен ехать автомобиль с проколотой шиной, чтобы она не сминалась?"

А это -- совсем третий тип задач, он заранее предполагает лишь среднепотолочные прикидки. Тип вполне почтенный, но -- третий.

Ingus в сообщении #857115 писал(а):

А закон движения r(t) очень приближенно напоминает синусоиду.
Я правильно выразился?

Неправильно (правда, и не Вы первый). Ни разу он синусоиду не напоминает, если не считать периодичности по времени.

[Ingus]

ewert в сообщении #857114 писал(а):

так дёшево к радиальному уравнению не перейдёшь

А так?
$\ddot x=-\frac{k}{m}(x-L)+\frac{V^2 L^2}{x^3}$

[ewert]

Ingus в сообщении #857130 писал(а):

А так?
$\ddot x=-\frac{k}{m}(x-L)+\frac{V^2 L^2}{x^3}$

ewert в сообщении #857114 писал(а):

совершенно ни к чему -- нужны лишь законы сохранения.

Т.е. даже независимо от правильности или нет этого выражения -- оно совершенно бесперспективно.

[Munin]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #857104 писал(а):

Вот так не стоит, иначе придётся ещё и Кориолиса приплетать.

Цитата:

Задача о движении в центральном поле сводится к задаче об одномерном движении с «эффективной» потенциальной энергией $V(r)$:


$$V(r)=\dfrac{M^2}{2\mu r^2}+U(r).$$

Нет никакого Кориолиса.

Ingus в сообщении #857115 писал(а):

Траектория в центральном поле упругого потенциала (центральная сила подчиняется закону Гука) - эллипс.

Нет. Здесь не тот упругий потенциал. Эллипс будет в потенциале $U(r)=kr^2/2.$ А у вас есть ещё и начальная длина упругого троса, то есть, $U(r)=k(r-L)^2/2.$ Легко видеть, что это другая функция. И поэтому траектория в нём будет другая, более сложная, и как здесь уже упоминали, (скорей всего) аналитически не находящаяся.

А, чёрт, DimaM это уже сказал...

[Ingus]

ewert в сообщении #857136 писал(а):

Т.е. даже независимо от правильности или нет этого выражения -- оно совершенно бесперспективно.

Другими словами, силу натяжения из него никак не "вытащить". правильно я понял?

-- 30.04.2014, 13:21 --

Munin в сообщении #857137 писал(а):

И поэтому траектория в нём будет другая, более сложная, и как здесь уже упоминали, (скорей всего) аналитически не находящаяся.

Численное решение показывает прецессирующий эллипс... На первом витке, наверное, можно считать как эллипс.