Воздействие на квантовозапутанную систему

[B@R5uk]

Я правильно понимаю, что выражение

$$\psi_{p_x}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\exp\left(\dfrac{ip_xx}{\hbar}\right)$$

это x-координатная часть волновой функции плоской монохромной волны произвольной природы c компонентой импульса $p_x$?

Или это просто некоторое похожее выражение?

[Nirowulf]

B@R5uk
Это собственная функция компоненты $\hat{p}_x$ оператора импульса $\hat{\mathbf{P}}=-i\hbar\nabla.$

Она же волновая функция свободной частицы с импульсом $\mathbf{p},$ направленным вдоль оси $x,$ в координатном представлении.

[Munin]

B@R5uk в сообщении #854695 писал(а):

Не понимаю бра-кет нотацию.

Да, к ней надо привыкнуть.

B@R5uk в сообщении #854695 писал(а):

В случае конечного числа дискретных состояний, она, вроде, кажется интуитивно понятной. А что означает запись $\lvert\langle x|\Psi\rangle\rvert^2$ ? Это сокращение для какого-то громоздкого выражения?

Это сокращение для целой кучи громоздких выражений. Всё зависит от того, в каком виде у вас задан кет-вектор $|\Psi\rangle.$ Если в представлении какого-то оператора - не координаты, то есть, в каком-то базисе, то это

$$\left|\int\psi_x^*(f)\,\Psi(f)\,df\right|^2=\left|\int\psi_f(x)\,\Psi(f)\,df\right|^2,$$

где $\psi_f(x)$ - базисные волновые функции (в. ф. собственных состояний этого оператора). Аналогично в случае дискретного спектра,

$$\biggl|\sum_f\psi_f(x)\,\Psi_f\biggr|^2.$$

Если в координатном представлении, то это попросту

$$\left|\int\delta(x'-x)\,\Psi(x')\,dx'\right|^2=\left|\Psi(x)\right|^2.$$

И так далее.

[Nirowulf]

Munin в сообщении #854793 писал(а):

B@R5uk в сообщении #854695 писал(а):

Не понимаю бра-кет нотацию.

Да, к ней надо привыкнуть.

На самом деле, дело должно пойти проще, если осознать, что бра-кет нотация это просто линейная алгебра $1$ курса в комплексном векторном пространстве со скалярным произведением(или более точным языком, с эрмитовой метрикой).

[Утундрий]

B@R5uk в сообщении #854706 писал(а):

x-координатная часть волновой функции

Не надо делить волновую функцию на части. Нехорошо это.

[Munin]

Nirowulf в сообщении #854894 писал(а):

На самом деле, дело должно пойти проще, если осознать, что бра-кет нотация это просто линейная алгебра $1$ курса в комплексном векторном пространстве со скалярным произведением(или более точным языком, с эрмитовой метрикой).

Да вообще вся квантовая механика - это просто она и есть. Независимо от нотации.

[B@R5uk]

Nirowulf в сообщении #854894 писал(а):

бра-кет нотация это просто линейная алгебра

Вот этот момент как раз мне прекрасно понятен. Следствие принципа суперпозиции.

-- 29.04.2014, 10:56 --

Я правильно понимаю, что если система имеет конечный дискретный набор базисных состояний (для оператора какой-то физической величины), то этот оператор матрица, а волновые функции -- столбцы чисел?

[arseniiv]

Не совсем корректно. Оператор — это оператор, и вектор — это вектор, но мы им в соответствие можем поставить наборы координат в каком-то базисе. Если пространство конечномерное, то координат конечное число, и с ними удобно иметь дело как с матрицами-столбцами-строками. В другом базисе наборы координат в общем случае другие, так что однозначного соответствия между оператором и матрицей, кет-вектором и столбцом нет.

[B@R5uk]

Просто большинство физических величин имеют операторы с бесконечномерным набором собственных функций. Даже число таких операторов с дискретным бесконечным набором мало (знаю только энергию для бесконечно высокой потенциальной ямы произвольной формы).

[Munin]

B@R5uk в сообщении #856644 писал(а):

Я правильно понимаю, что если система имеет конечный дискретный набор базисных состояний (для оператора какой-то физической величины), то этот оператор матрица, а волновые функции -- столбцы чисел?

Тут надо разделить, как в линейной алгебре, базисы и операторы. Если система имеет конечный набор базисных состояний, то любой оператор матрица, а вектор состояния - столбец чисел. (Называть его волновой функцией в таком случае не принято, но по сути, это одно и то же.)

Если система имеет бесконечный набор дискретных базисных состояний, то оператор - бесконечная матрица, а вектор состояния - бесконечный столбец. (Это называется "представлением в дискретном спектре".)

И наконец, если система имеет бесконечный набор непрерывных базисных состояний, то вектор состояния - это функция, зависящая от непрерывной переменной (нумерующей базисные состояния), а оператор - это интегральный оператор с ядром, зависящим как функция от двух таких переменных. Формулы получаются аналогичным формулам линейной алгебры, только $\sum\to\int.$ (Это называется "представлением в непрерывном спектре".) Функции могут включать в себя дельта-функции и им подобные.

В общем случае, имеет место и непрерывный, и дискретный спектр, и формулы в общем случае включают в себя и суммирование, и интегрирование. Пример: состояния электрона в атоме водорода (дискретные - связанные, непрерывные - свободные).

А когда говорят "базис оператора" - это немножко о другом, это не любой базис, а именно такой, в котором оператор диагонален. (Геометрически, это такие оси, вдоль которых оператор осуществляет чистые растяжения-сжатия, без поворотов.) Тогда оператор вообще можно задать не матрицей, а всего лишь последовательностью чисел (в непрерывном случае - функцией). Но в "чужом" базисе оператор требует целой матрицы ненулевых чисел.

[B@R5uk]

Снова возвращаюсь к исходной задаче.

arseniiv в сообщении #850936 писал(а):

Рассуждал так: раз есть тензор $\psi^{ij}$, почему бы не подействовать оператором $A_i^k$ на него так же как на «просто вектор» $\psi^i$, только вместо $A_i^k\psi^i$ получится $A_i^k\psi^{ij}$. А если хочется подействовать на состояние второго элемена, то $A_j^k\psi^{ij}$… Но можно ли так и почему?

Munin в сообщении #850950 писал(а):

Пока всё правильно, но до ответа не доведено

Но ведь эти операторные преобразования как раз для случая, когда состояние системы изменяется обратимо. То есть производится воздействие, но не измерение. Меня же интересует случай, когда над частью системы осуществляют измерение, которое необратимо разрушает квантовое состояние. Этот процесс (вернее мгновенный переход) не описывается линейными операторами и состояние после такого измерения не определено однозначно. Можно только судить о вероятностях каждого из возможных состояний. Вот меня и интересует, какие это будут вероятности и какие это будут состояния. Как мне кажется, это будут совсем не чистые состояния, не так ли?

[Munin]

А чего "кажется"? Напишите формулы, да вычислите результат.

[Sicker]

B@R5uk
вероятность обнаружить спин первого электрона вверх будет равна $a^2+b^2$
при условии нормировки $a^2+b^2+c^2+d^2=1$
а вниз соответственно $c^2+d^2$

[Munin]

Ответ без решения не засчитывается.

[Sicker]

ну че тут решать, все очевидно